[论文解读] Lines on contact manifolds II

Stefan Kebekus|ArXiv.org|Mar 29, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文研究复接触流形上极小有理曲线的几何性质，聚焦于通过一般点的曲线的轨迹。利用形变理论与切映射，证明了切映射是双有理的，即每个一般点与切方向至多确定一条极小有理曲线。此外，还表明该轨迹的正规化同构于一个射影锥，为接触流形的结构提供了深入见解。

ABSTRACT

Complex contact manifolds have recently received considerable attention. Many of the newer publications approach contact manifolds via the covering family of minimal rational curves. This short note furthers the study of these curves. It is known that for any point x in X, the subvariety, which is covered by those curves which contain x, is Legendrian. We will now study the deformations of these subvarieties which are generated by moving the base point. As a main application, we give a positive answer to a question of J.M. Hwang in the case of contact manifolds: a sufficiently general tangent vector is contained in at most a single minimal rational curve. The author believes that this is a necessary step towards a full classification of contact manifolds. We give a second application by showing that the normalization of the subvariety of minimal curves through x is isomorphic to a projective cone.

研究动机与目标

• 解决 J.M. Hwang 提出的关于接触流形上切映射双有理性的疑问。
• 研究接触流形上通过一般点的极小有理曲线轨迹的形变。
• 确定通过一般点的曲线轨迹正规化的几何结构。
• 建立该轨迹正规化同构于射影锥的结论，推动接触流形的分类研究。

提出的方法

• 利用接触流形 X 中一般点 x 处曲线轨迹的形变理论。
• 应用基于 O’Neill 张量的准则，判断切丛的截面何时包含于接触分布 F 中。
• 使用曲线参数空间 H_x 上的普遍族，并研究接触线丛 L 沿此族的拉回。
• 利用 Mori 的弯折-断裂论证与 Stein 分解，证明在普遍族中收缩一个截面可得到轨迹的正规化。
• 通过一个不在 F 中的非退化切向量，构造普遍族中的第二个不相交截面，从而证明正规化为锥。
• 分析 ι_x^*(L) 的截面的交点理论与零点集，通过假设非横截交点导出矛盾，从而证明切映射的双有理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于接触流形 X 上的一般点 x，切映射 τ_x : H_x → ℙ(T_X^*|_x) 是否为双有理的？
• RQ2 通过接触流形中一般点 x 的曲线轨迹的正规化具有何种几何结构？
• RQ3 通过 x 的曲线轨迹能否以保持其 Legendre 性质并揭示其整体结构的方式发生形变？
• RQ4 通过 x 的曲线轨迹的正规化是否具有锥结构？若存在，其条件为何？
• RQ5 在接触流形中，通过一般点与一般切方向是否存在唯一的极小有理曲线？

主要发现

• 切映射 τ_x 双有理地映射到其像，即每个一般点与切方向至多确定一条极小有理曲线。
• 通过一般点 x 的曲线轨迹的正规化同构于一个射影锥。
• 通过 x 的曲线轨迹是 Legendre 的，并在形变下保持为余切化，从而保持接触结构。
• 在普遍族 U_x 中存在一个与 x 处纤维不相交的第二个截面 σ_0，其存在性源于 F_x 中不存在的切向量。
• 收缩 U_x 中的截面 σ_∞ 可得到轨迹的正规化，从而确认其锥结构。
• 与 ι_x^*(L) 的截面相关的除子的交点理论表明其横截性，这是证明 τ_x 双有理性的关键。