[论文解读] Liouville properties of plurisubharmonic functions

Lei Ni, Luen-Fai Tam|ArXiv.org|Dec 28, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文建立了在具有非负全纯双截面曲率的完备非紧凯勒流形上，光滑强拟凸函数的Liouville型定理，证明了在次对数增长条件下此类函数必为常数。利用该结果，作者推导出线性增长调和函数的分裂定理及曲率间隙定理，表明当标量曲率衰减足够快时，流形必为平坦，从而推广了凯勒几何中的已知结果。

ABSTRACT

We prove a Liouville theorem for the plurisubharmonic functions on complete Kaelher manifolds. As the applications, we prove a splitting theorem for complete Kaehler manifolds with nonnegative biscetional curvature in terms of the linear growth harmonic functions and a optomal gap theorem for such manifolds.

研究动机与目标

• 证明在具有非负全纯双截面曲率的完备非紧凯勒流形上，强拟凸函数的Liouville型定理。
• 在上述流形上建立线性增长调和函数的分裂定理。
• 证明标量曲率衰减的间隙定理，表明当流形的标量曲率衰减足够快时，其必为平坦。
• 与先前使用Poincaré-Lelong方程和Liouville型估计的工作相比，提供一种更简单、更直接的曲率间隙定理证明。

提出的方法

• 在曲率有界条件下，对强拟凸函数使用Laplacian比较估计。
• 应用Cheng-Yau的梯度估计，以控制调和函数 |∇f|² 的增长。
• 构造一个全纯次调和函数 u = log(1 + |∇f|²)，并通过曲率张量估计获得其Laplacian的上界。
• 对函数 Ψ + C₁h 应用最大值原理，推导出曲率张量的逐点上界。
• 利用凯勒-Ricci流保持曲率非负性，并允许在 t → 0 时取极限。
• 利用Poincaré-Lelong方程将Ricci曲率与一个全纯次调和函数u联系起来，其次对数增长性通过主Liouville定理可推出其为常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非负双截面曲率的完备非紧凯勒流形上，强拟凸函数在何种增长条件下必为常数？
• RQ2 若存在一个非平凡的线性增长调和函数，是否能推出流形可分解为 ℝ 或 ℂ 的乘积？
• RQ3 使具有非负双截面曲率的凯勒流形成为平坦的标量曲率最优衰减速率是什么？
• RQ4 强拟凸函数的Liouville性质在凯勒-Ricci流下是否稳定？
• RQ5 在更弱的曲率衰减假设下，是否仍可解Poincaré-Lelong方程并由此推出平坦性？

主要发现

• 在具有非负全纯双截面曲率的完备非紧凯勒流形上，若光滑强拟凸函数 u 满足 limsup_{x→∞} u(x)/log r(x) = 0，则其必为常数。
• 若调和函数 f 满足对所有 ε > 0 有 limsup_{x→∞} |f(x)| / r^{1+ε}(x) = 0，则 f 为线性增长，且流形 M 依等距分解为 M̃ × ℝ。
• 流形 M 的万有覆盖在全纯与等距意义下分解为 M′ × ℂ；若 f 为全纯函数，则 M 本身可分解为 M̃ × ℂ。
• 若一完备非紧凯勒流形具有非负双截面曲率，且满足 ∫₀ʳ s(⨍_{Bₒ(s)}ℛ(y)dy) ds = o(log r)，则其必为平坦，即使无一致衰减假设。
• 标量曲率满足 ℛ(x) ≤ C(r²(x) + 1)，且平均标量曲率的积分条件成立，即可通过Poincaré-Lelong方程与Liouville定理推出平坦性。
• 该结果在比先前工作更一般条件下成立，包括仅需 ∫₀ʳ s(⨍_{Bₒ(s)}ℛ(y)dy) ds = o(log r) 以及 liminf_{r→∞} ⨍_{Bₒ(r)}ℛ²(y)dy = 0。