[论文解读] Liouville theorem of axially symmetric Navier-Stokes equations with growing velocity at infinity

Xinghong Pan, Zijin Li|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 18被引用 12

一句话总结

本文在次线性增长条件下，建立了三维Navier-Stokes方程古老、轴对称、无旋涡解的Liouville型定理：若速度增长慢于 |x|^α（任意 α < 1），则解在空间上必为常数（ur = 0，uz = c(t)）。证明通过在vorticity分量 Ω = wθ/r 上使用加权 L^q 估计，结合能量型不等式与尺度分析，表明其恒为零，从而推出速度满足Laplace方程，因此仅依赖于时间。该结果将先前工作推广至允许非零次线性增长率的情形，且通过反例表明线性增长会破坏该定理。

ABSTRACT

In the paper \cite{KNSS:1}, the authors make the following conjecture: {\it any bounded ancient mild solution of the 3D axially symmetric Navier-Stokes equations is constant.} And it is proved in the case that the solution is swirl free. Our purpose of this paper is to improve their result by allowing that the solution can grow with a power smaller than 1 with respect to the distance to the origin. Also, we will show that such a power is optimal to prove the Liouville type theorem since we can find counterexamples for the Navier-Stokes equations such that the Liouville theorem fails if the solution can grow linearly.

研究动机与目标

• 将古老、轴对称、无旋涡Navier-Stokes解的Liouville型定理从有界性推广至次线性增长条件。
• 确定Liouville定理仍然成立的最优增长速率。
• 通过构造显式反例，证明当线性增长（α = 1）时定理不成立，从而揭示其临界性。
• 证明在次线性增长条件下，wθ 的消失意味着速度为调和函数，从而在空间上为常数。

提出的方法

• 使用 Ω = wθ / r 所满足的输运-扩散方程，其涉及速度分量。
• 对 Ω 应用带截断函数 ηR（按 R 缩放）的加权 L^q 能量估计，利用次线性增长假设（1.6）与径向正则性（1.7）。
• 通过分部积分与Young不等式控制低阶项，并将其吸收至主能量项中。
• 利用Biot-Savart定律，由 wθ ≡ 0 推出 ∆u = 0，从而表明 u 在空间上为调和函数。
• 应用次线性增长条件，得出调和速度场必与空间无关，故 u = (0, c(t))。
• 构造具有线性增长（α = 1）的显式解，以证明次线性假设的临界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 古老、轴对称、无旋涡Navier-Stokes解的Liouville定理仍成立的最大增长速率为何？
• RQ2 Liouville定理能否从有界解推广至具有次线性增长的解？
• RQ3 次线性增长条件（α < 1）是否为最优？能否进一步放宽？
• RQ4 当解呈线性增长时会发生什么？Liouville定理是否仍然成立？

主要发现

• 在速度增长慢于 |x|^α（任意 α < 1）的条件下，古老、轴对称、无旋涡Navier-Stokes解的Liouville定理成立。
• 在次线性增长假设下，vorticity分量 wθ 恒为零，意味着解在空间上为调和函数。
• 由于调和性与次线性增长的结合，速度场必为 u = (0, c(t)) 的形式，其中 c(t) 为时间相关函数。
• 增长速率 α < 1 是临界值：当 α = 1 时，存在非平凡解的反例，如 ur = C1r，uz = −2C1z + C2(t)，表明定理不成立。
• 证明依赖于对 Ω = wθ / r 的 L^q 估计，结合精心选择的截断函数与尺度分析，表明当 R → ∞ 时，Ω 的 L^q 范数趋于零。
• 该结果优于先前工作，允许非平凡增长，同时保持解在空间上为常数的结论。