[论文解读] Liouville theorems and a Schwarz Lemma for holomorphic mappings between Kähler manifolds

Lei Ni|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 10

一句话总结

本文建立了凯勒流形上非负双截面曲率情形下全纯分裂定理的非线性推广，证明在微分的适度增长条件下，映射到具有非正双截面曲率的流形上的全纯映射是全测地的。此外，本文提出了一种仅基于全纯截面曲率的新施瓦茨引理估计，将 $k$-双曲性与负 $k$-标量曲率联系起来。

ABSTRACT

We derive some consequences of the Liouville theorem for plurisubharmonic functions of L.-F. Tam and the author. The first result provides a nonlinear version of the complex splitting theorem (which splits off a factor of $\mathbb{C}$ isometrically from the simply-connected Kähler manifold with nonnegative bisectional curvature and a linear growth holomorphic function) of L.-F. Tam and the author. The second set of results concerns the so-called $k$-hyperbolicity and its connection with the negativity of the $k$-scalar curvature (when $k=1$ they are the negativity of holomorphic sectional curvature and Kobayashi hyperbolicity) introduced recently by F. Zheng and the author. We lastly prove a new Schwarz Lemma type estimate in terms of {\it only the holomorphic sectional curvatures of both domain and target manifolds}.

研究动机与目标

• 通过全纯次调和函数的刘维尔型定理，将全纯分裂定理推广至非线性情形。
• 探究凯勒流形中 $k$-双曲性与负 $k$-标量曲率之间的关系。
• 推导出仅依赖于定义域与目标流形全纯截面曲率的新施瓦茨引理估计。
• 建立全纯映射为全测地的条件，推广调和映射理论中的结果。
• 通过 $\partial\bar{\partial}$-Bochner 公式与基于体积的估计，统一双曲性与曲率的概念。

提出的方法

• 利用 $\partial\bar{\partial}$-Bochner 公式，证明对任意 $A > 0$，有 $\log(A + \|\partial f\|^2)$ 是全纯次调和函数，从而实现曲率估计。
• 应用具有次对数增长的全纯次调和函数的刘维尔定理，以约束全纯映射的行为。
• 采用正常坐标系，推导 $\|\partial f\|^2$ 的拉普拉斯算子的点态估计，将曲率项与微分范数联系起来。
• 通过从 $\mathbb{D}^k$ 到 $N$ 的全纯映射引入 $k$-向量上的伪范数，以该范数为真范数来定义 $k$-双曲性。
• 使用缩放论证 $f_\ell(z) = f(\rho_{1/\ell}(z))$，证明从 $\mathbb{C}^k$ 出发的非退化映射存在当且仅当该伪范数为零。
• 建立点态曲率不等式：在负全纯截面曲率 $H \leq -\kappa|X|^4$ 条件下，有 $R^N_{i\bar{i}j\bar{j}}|f^i_\alpha|^2|f^j_\gamma|^2 \leq -\frac{d+1}{2d}\kappa\|\partial f\|^4$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种曲率与增长条件下，凯勒流形之间的全纯映射是全测地的？
• RQ2 凯勒流形中 $k$-双曲性与 $k$-标量曲率负性之间有何关系？
• RQ3 能否仅基于定义域与目标流形的全纯截面曲率，推导出类似施瓦茨引理的估计？
• RQ4 通过 $\mathbb{D}^k$ 到 $N$ 的全纯映射定义的伪范数是真范数当且仅当流形是 $k$-双曲的吗？
• RQ5 线性分裂定理能在多大程度上推广至非线性全纯映射？

主要发现

• 若全纯映射 $f: M \to N$ 满足 $M$ 具有非负双截面曲率，$N$ 具有非正双截面曲率，且 $\|df\|$ 的增长速度慢于 $r^\epsilon$（对任意 $\epsilon > 0$），则该映射是全测地的。
• 当 $m=1$ 时，若 $N$ 具有非正全纯截面曲率，且 $df$ 满足相同的增长条件，则结论同样成立。
• 证明了一种仅基于全纯截面曲率的新施瓦茨引理估计：若 $H^N \leq -\kappa|X|^4$，则有 $\Delta\|\partial f\|^2 \geq -\frac{d+1}{2d}\kappa\|\partial f\|^4 - K\|\partial f\|^2$。
• 紧致凯勒流形 $N$ 的 $k$-双曲性等价于伪范数 $\|v_1 \wedge \cdots \wedge v_k\|_k$ 作为 $k$-向量上的真范数。
• 若该伪范数不是范数，则存在一个非退化的全纯映射 $f: \mathbb{C}^k \to N$，意味着该流形不是 $k$-双曲的。
• $k$-标量曲率 $S_k(y, \Sigma) < 0$ 对所有 $k$-平面 $\Sigma$ 成立，意味着 $N$ 是 $k$-双曲的，这推广了小林双曲性（$k=1$ 时的情形）。