[论文解读] Liouville type of theorems with weights for the Navier-Stokes equations and the Euler equations

Dongho Chae|ArXiv.org|Nov 28, 2008

Navier-Stokes equation solutions参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文建立了在 $\mathbb{R}^{N}$ 上（$N\geq 2$）的纳维-斯托克斯方程和欧拉方程，以及在 $\mathbb{R}^{N}$ 上（$N\geq 3$）的磁流体动力学（MHD）方程的加权刘维尔型定理，证明了当速度和压强满足特定权函数下的可积性条件且加权压强非负时，弱解恒为零。结果推广了先前的工作，通过引入一般权函数并将结果扩展至欧拉方程和MHD系统。

ABSTRACT

We study Liouville type of theorems for the Navier-Stokes and the Euler equations on $\Bbb R^N$, $N\geq 2$. Specifically, we prove that if a weak solution $(v,p)$ satisfies $|v|^2 +|p| \in L^1 (0,T; L^1(\Bbb R^N, w_1(x)dx))$ and $\int_{\Bbb R^N} p(x,t)w_2 (x)dx \geq0$ for some weight functions $w_1(x)$ and $w_2 (x)$, then the solution is trivial, namely $v=0$ almost everywhere on $\Bbb R^N imes (0, T)$. Similar results hold for the MHD Equations on $\Bbb R^N$, $N\geq3$.

研究动机与目标

• 通过在可积性条件中引入一般权函数，将纳维-斯托克斯方程和欧拉方程在 $\mathbb{R}^{N}$（$N\geq 2$）上的刘维尔型结果进行推广。
• 在加权可积性与压强符号约束下，首次为 $\mathbb{R}^{N}$（$N\geq 3$）上的欧拉方程和MHD方程建立此类定理。
• 通过采用更广泛的权函数类和对压强与速度可积性更弱的假设，统一并推广了 [1] 的先前结果。
• 证明当 $|v|^2 + |p|$ 的加权 $L^1$ 范数与加权压强积分均为非负且有限时，弱解几乎处处为零。

提出的方法

• 证明使用了径向权函数 $w(|x|)$、$\frac{1}{|x|}\int_0^{|x|} w(s)ds$ 和 $\frac{1}{|x|^2}\int_0^{|x|}\int_0^r w(s)dsdr$ 的加权能量估计，以控制解的行为。
• 关键步骤是从方程的弱形式推导出微分不等式，使用与权结构相适应的测试函数。
• 利用加权压强积分的非负性 $\int_{\mathbb{R}^N} p(x,t)\left[w(|x|)+\frac{N-1}{|x|}\int_0^{|x|} w(s)ds\right]dx \geq 0$ 来防止能量累积。
• 该方法依赖于 Calderón-Zygmund 估计，以 $L^q$ 范数（$2<q<\frac{2N}{N-1}$）控制压强与速度和磁场的关系。
• 对于MHD情形，通过 Riesz 变换与调和函数对压强进行分解，衰减假设确保调和部分趋于零。
• 分析处理了两种情形：$\frac{|v|^2+|p|}{1+|x|}$ 的可积性，或压强在无穷远处衰减并结合速度与磁场的 $L^q$ 可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $|v|^2 + |p|$ 的何种加权可积性条件与加权压强的符号条件下，纳维-斯托克斯方程的弱解恒为零？
• RQ2 能否通过使用加权范数，将刘维尔型定理推广至缺乏粘性的欧拉方程？
• RQ3 能否为涉及耦合速度与磁场的MHD方程建立类似结果？
• RQ4 一般权函数 $w(r)$ 如何影响迫使平凡解所需的衰减与可积性条件？
• RQ5 在非负加权压强积分的条件下，$v$ 与 $p$ 的最小可积性条件是什么，可推出 $v=0$ 几乎处处成立？

主要发现

• 若 $\int_0^T \int_{\mathbb{R}^N} (|v|^2 + |p|) \left[w(|x|) + \frac{1}{|x|}\int_0^{|x|} w(s)ds + \frac{1}{|x|^2}\int_0^{|x|}\int_0^r w(s)dsdr\right] dxdt < \infty$ 且 $\int_{\mathbb{R}^N} p(x,t)\left[w(|x|)+\frac{N-1}{|x|}\int_0^{|x|} w(s)ds\right]dx \geq 0$，则 $v=0$ 几乎处处在 $\mathbb{R}^N \times (0,T)$ 上成立。
• 对于欧拉方程（$\nu=0$），在相同加权可积性与压强符号条件下，结论同样成立，将结果推广至无粘性情形。
• 对于 $\mu,\nu \geq 0$ 的MHD方程，若 $\int_0^T \int_{\mathbb{R}^N} \frac{|v|^2 + |b|^2 + |p|}{1+|x|}dxdt < \infty$，或压强在无穷远处衰减且满足 $|v|+|b| \in L^2(0,T;L^q(\mathbb{R}^N))$（$2<q<\frac{2N}{N-1}$），且压强符号条件成立，则 $v=b=0$ 几乎处处成立。
• 即使权函数 $w(r)$ 不可积，只要满足 $w(r) \leq \frac{C}{1+r}$ 且 $w$ 非增，结果仍成立，允许权函数衰减慢于 $L^1$。
• 通过 Calderón-Zygmund 估计控制压强项，得到 $\|p\|_{L^{q/2}} \leq C_q(\|v\|_{L^q}^2 + \|b\|_{L^q}^2)$（$q \in (2,\infty)$），从而在证明中可使用 $L^q$ 可积性。
• 在衰减假设 $p(x,t) \to 0$ 当 $|x| \to \infty$ 下，压强的调和部分趋于零，这对定理 1.2 和定理 3.2 的第二类情形至关重要。