[论文解读] Lipschitz invariance of walk dimension on connected self-similar sets

Hui Rao, Qingsong Gu|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文证明了在配备Ahlfors正则测度的连通自相似集上，通过Besov空间的临界指数定义的行走维数（walk dimension）在双李普希茨变换下保持不变。通过证明临界指数β*在双李普希茨映射下保持不变，作者表明具有不同β*值的广义Sierpiński垫片不可能是Lipschitz等价的，从而为区分此类分形提供了一个新的不变量。

ABSTRACT

Walk dimension is an important conception in analysis of fractals. In this paper we prove that the walk dimension of a connected compact set possessing an Alfors regular measure is an invariant under Lipschitz transforms. As an application, we show some generalized Sierpiński gaskets are not Lipschitz equivalent.

研究动机与目标

• 通过Besov空间的临界指数β*，为连通自相似分形建立一个新的Lipschitz不变量。
• 证明在Ahlfors正则度量测度空间上，β*在双李普希茨变换下保持不变。
• 将此不变量应用于证明具有不同行走维数的广义Sierpiński垫片之间不具有Lipschitz等价性。
• 通过热核估计和Dirichlet型式，将临界指数β*与行走维数联系起来。
• 提供一种方法，以区分非双李普希茨等价的连通自相似集。

提出的方法

• 通过测量局部L2振荡的泛函Wσ,M(u)定义，构造Besov型空间Wσ,2(M,d,μ)。
• 将临界指数β*定义为使得Wσ,2包含非平凡函数的σ的上确界。
• 利用体积加倍性和Poincaré型不等式的双李普希茨不变性，证明β*在双李普希茨映射下保持不变。
• 通过满足Grigor’yan、Hu与Lau（2015）中条件的热核估计，建立β*与行走维数β之间的等价性。
• 利用Dirichlet型式和(Δ-Y)-变换，计算广义Sierpiński垫片的β*，以推导电阻标度常数。
• 验证热核满足定理3.1所要求的双侧估计，从而确认β = β*。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Ahlfors正则度量测度空间上，Besov空间的临界指数β*是否在双李普希茨变换下保持不变？
• RQ2 β*能否作为Lipschitz不变量，用于区分非双李普希茨等价的自相似集？
• RQ3 在热核满足一定条件的温和假设下，行走维数β是否与β*相等？
• RQ4 具有不同β*值的广义Sierpiński垫片是否必然不具有Lipschitz等价性？
• RQ5 能否通过Dirichlet型式和自相似分形上的热核估计来计算行走维数？

主要发现

• 在连通、Ahlfors正则的自相似集上，临界指数β*在双李普希茨映射下保持不变。
• 当热核满足定理3.1中的衰减与可积性条件时，行走维数β等于β*。
• 对于Sierpiński垫片K1，β* = α + log(5/3)/log(2) ≈ α + 0.737。
• 对于广义垫片K2，β* = α + log(295/63)/log(8) ≈ α + 0.868。
• 对于K3和K4（由IFS复合而成），β* = α + log(1475/189)/log(16) ≈ α + 0.868，与K2相同但不同于K1。
• 由于β*值不同，K1与K2、K3或K4不具有Lipschitz等价性；而K3与K4的β*值相同，可能具有Lipschitz等价性。