[论文解读] Lipschitz Normal Embeddings and Determinantal Singularities

Helge Møller Pedersen, María Aparecida Soares Ruas|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文证明了模型行列式奇点——即秩小于给定值的 $m \times n$ 矩阵的集合——是利普希茨正常嵌入的，这意味着其内度量与外度量是双利普希茨等价的。作者使用线性代数和三角学提供了新的证明，与以往的拓扑方法形成对比，并讨论了在更广泛条件下将结果推广到一般行列式奇点时面临的挑战。

ABSTRACT

The germ of an algebraic variety is naturally equipped with two different metrics up to bilipschitz equivalence. The inner metric and the outer metric. One calls a germ of a variety Lipschitz normally embedded if the two metrics are bilipschitz equivalent. In this article we prove that the model determinantal singularity, that is the space of $m imes n$ matrices of rank less than a given number, is Lipschitz normally embedded. We will also discuss some of the difficulties extending this result to the case of general determinantal singularities.

研究动机与目标

• 建立模型行列式奇点是利普希茨正常嵌入的。
• 提供一种替代以往拓扑方法的新证明，依赖于线性代数和三角学。
• 研究在何种条件下一般行列式奇点可能或不可能是利普希茨正常嵌入的。
• 分析将结果从模型奇点推广到更一般的行列式代数集时的局限性。
• 阐明嵌入行列式奇点（EIDS）和奇点集在决定双利普希茨正常嵌入中的作用。

提出的方法

• 通过欧氏距离和可 rectifiable 路径长度来定义嵌入代数簇上的内度量和外度量。
• 使用双利普希茨等价性来比较这两种度量，当存在一个统一常数 $K > 1$ 控制其比值时，即确立利普希茨正常嵌入。
• 通过矩阵秩的性质和路径长度的三角估计进行直接计算，证明主要结果。
• 应用线性代数技术分析行列式代数集上的测地线和度量畸变。
• 使用分层结构和锥结构分析原点附近的奇点行为。
• 与依赖于锥分层和拓扑论证（例如 [KKKLS16]）的先前工作进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 模型行列式奇点——即有界秩的 $m \times n$ 矩阵的代数集——是否是利普希茨正常嵌入的？
• RQ2 能否仅使用线性代数和三角学来证明这些奇点上内度量与外度量的双利普希茨等价性？
• RQ3 在将利普希茨正常嵌入性质推广到一般行列式奇点时，存在哪些障碍？
• RQ4 嵌入行列式奇点中奇点集 $X^1$ 的利普希茨正常嵌入是否意味着更高层 $X^i$ 也具有该性质？
• RQ5 在什么条件下，定义映射 $F$ 的原像 $F^{-1}(M^t_{m,n})$ 可保证是利普希茨正常嵌入的？

主要发现

• 模型行列式奇点 $M^t_{m,n}$（即秩不超过 $t$ 的 $m \times n$ 矩阵的集合）是利普希茨正常嵌入的。
• 提供了一种新证明，避免使用拓扑工具，转而依赖初等线性代数和三角估计。
• 在 $M^t_{m,n}$ 上，内度量与外度量是双利普希茨等价的，且统一常数 $K$ 仅依赖于 $m$、$n$ 和 $t$。
• 反例表明，即使嵌入行列式奇点（EIDS）的奇点集是利普希茨正常嵌入的，该奇点集本身也可能不是利普希茨正常嵌入的。
• 在简单的科亨-麦克唐纳克余维数 2 的表面奇点中，仅 $A_{k-1,l-1,m-1}$ 系列（对应最小奇点）是利普希茨正常嵌入的，而如 $B_{2l,k-1}$ 这类非最小奇点则不是。
• 该结果不能一般地推广到任意行列式奇点，反例表明当奇点集以非双利普希茨方式嵌入时，该性质不成立。