[论文解读] Lipschitz Properties of Nonsmooth Functions and Set-Valued Mappings via Generalized Differentiation and Applications

Nguyen Mau Nam, Gerardo Lafferriere|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2013

Optimization and Variational Analysis参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文利用广义微分工具，特别是Mordukhovich的次微分和共导数准则，建立了对非光滑函数（特别是最小时间函数和标量化函数）Lipschitz连续性的必要与充分条件。主要贡献在于通过奇异次微分的平凡性以及边界点处法锥与方向向量的横截性，对Lipschitz行为进行了表征。

ABSTRACT

In this paper, we revisit the Mordukhovich's subdifferential criterion for Lipschitz continuity of nonsmooth functions and coderivative criterion for the Aubin/Lipschitz-like property of set-valued mappings in finite dimensions. The criteria are useful and beautiful results in modern variational analysis showing the state of the art of the field. As an application, we establish necessary and sufficient conditions for Lipschitz continuity of the minimal time function and the scalarization function, that play an important role in many aspects of nonsmooth analysis and optimization.

研究动机与目标

• 重新审视并改进Mordukhovich在有限维变分分析中关于Lipschitz性质的次微分与共导数准则。
• 建立最小时间函数与标量化函数Lipschitz连续性的必要与充分条件。
• 弥合理论上的广义微分与非光滑优化及敏感性分析中的实际应用之间的鸿沟。
• 通过极限法锥扩展Aubin/类似Lipschitz性质的集合值映射表征。
• 通过奇异次微分与法锥横截性，提供Lipschitz连续性的完整表征。

提出的方法

• 利用Mordukhovich的极限法锥与次微分理论，分析非光滑函数的Lipschitz行为。
• 应用共导数准则：当且仅当 $ (u,0) \in N((\bar{x},\bar{y});\text{gph}\,\mathcal{F}) \Rightarrow u = 0 $ 时，Aubin性质在 $ (\bar{x},\bar{y}) $ 附近成立。
• 将最小时间函数 $ \varphi_d(x;\Omega) = \inf\{ t \geq 0 \mid x + td \in \Omega \} $ 作为核心研究对象。
• 通过极限法锥，利用度量投影与距离函数推导次微分表示。
• 应用奇异次微分 $ \partial^\infty \varphi_d(\bar{x};\Omega) = \{0\} $ 作为Lipschitz连续性的必要与充分条件。
• 建立极限法锥表示：$ \partial \varphi_d(\bar{x};\Omega) = \{ w \in \mathbb{R}^n \mid \langle w, -d \rangle = 1, \, w \in N(\tilde{x};\Omega) \} $，其中 $ \tilde{x} = \bar{x} + t d $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，最小时间函数 $ \varphi_d(\cdot;\Omega) $ 在点 $ \bar{x} \in \text{dom}\, \varphi_d(\cdot;\Omega) $ 附近是Lipschitz连续的？
• RQ2 如何利用Mordukhovich共导数准则表征集合值映射的Aubin性质？
• RQ3 最小时间函数的奇异次微分与其Lipschitz连续性之间存在何种关系？
• RQ4 当 $ N(\tilde{x};\Omega) \cap \{d\}^\perp = \{0\} $ 时，何时能推出 $ \varphi_d(\cdot;\Omega) $ 的Lipschitz连续性？
• RQ5 共导数准则能否用于推导标量化函数Lipschitz连续性的必要与充分条件？

主要发现

• 最小时间函数 $ \varphi_d(\cdot;\Omega) $ 在 $ \bar{x} $ 附近Lipschitz连续当且仅当 $ \partial^\infty \varphi_d(\bar{x};\Omega) = \{0\} $，这等价于 $ N(\tilde{x};\Omega) \cap \{d\}^\perp = \{0\} $，其中 $ \tilde{x} = \bar{x} + t d $，$ t = \varphi_d(\bar{x};\Omega) $。
• 在正则性假设下，最小时间函数的极限次微分满足 $ \partial \varphi_d(\bar{x};\Omega) = \{ w \in \mathbb{R}^n \mid \langle w, -d \rangle = 1, \, w \in N(\tilde{x};\Omega) \} $。
• 奇异次微分 $ \partial^\infty \varphi_d(\bar{x};\Omega) = \{0\} $ 是 $ \varphi_d(\cdot;\Omega) $ 在 $ \bar{x} $ 附近Lipschitz连续的必要与充分条件。
• 若 $ \Omega $ 在 $ \tilde{x} $ 处法正则，则 $ N(\tilde{x};\Omega) \cap \{d\}^\perp = \{0\} $ 是 $ \varphi_d(\cdot;\Omega) $ Liplschitz连续的必要与充分条件。
• Aubin性质的共导数准则等价于条件：$ (u,0) \in N((\bar{x},\bar{y});\text{gph}\,\mathcal{F}) \Rightarrow u = 0 $，其中使用了Mordukhovich法锥。
• 标量化函数在类似的法锥与次微分条件下继承Lipschitz性质，推广了最小时间函数的相关结果。