[论文解读] Lipschitz regularity results for nonlinear strictly elliptic equations and applications

Olivier Ley, Vinh Duc Nguyen|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文通过改进的Ishii-Lions方法，为具有任意梯度增长的哈密顿量的非线性严格椭圆方程的粘性解建立了统一的Lipschitz正则性界。关键贡献在于获得了与参数ε或t无关的统一梯度界，从而无需依赖解的范数，即可求解遍历问题并研究抛物方程的长时间行为。

ABSTRACT

Most of lipschitz regularity results for nonlinear strictly elliptic equations are obtained for a suitable growth power of the nonlinearity with respect to the gradient variable (subquadratic for instance). For equations with superquadratic growth power in gradient, one usually uses weak Bernstein-type arguments which require regularity and/or convex-type assumptions on the gradient nonlinearity. In this article, we obtain new Lipschitz regularity results for a large class of nonlinear strictly elliptic equations with possibly arbitrary growth power of the Hamiltonian with respect to the gradient variable using some ideas coming from Ishii-Lions' method. We use these bounds to solve an ergodic problem and to study the regularity and the large time behavior of the solution of the evolution equation.

研究动机与目标

• 为具有梯度变量中任意增长的非线性严格椭圆方程的粘性解建立统一的梯度界。
• 克服经典Bernstein方法对哈密顿量的凸性或正则性假设的局限性。
• 发展一种不依赖于解的L∞范数的边界估计方法，这对于研究遍历问题和长时间行为至关重要。
• 将现有正则性结果扩展至在梯度上具有超二次或任意增长的哈密顿量，即使H仅是Hölder连续或不连续的情形。
• 将正则性结果应用于求解遍历问题，并分析演化方程解的渐近行为。

提出的方法

• 调整Ishii-Lions方法，利用扩散矩阵A(x)的严格椭圆性来控制哈密顿量中的强非线性。
• 采用带障碍函数Ψ(|x−y|)的扰动测试函数方法，比较在最大值点处的上下解。
• 构造与σ(x)结构相适应的正交基，以估计涉及D²v和矩阵B的迹项。
• 利用|σ(x)−σ(y)|和|σ⁻¹(x)−σ⁻¹(y)|的估计，实现对迹项在ε和t上的统一有界性。
• 利用严格椭圆性条件A(x)≥νI确保σ(x)的可逆性，并控制涉及q=σ⁻¹(x)q的几何项。
• 应用粘性解理论在最大值点导出不等式，并结合迹估计获得最终的梯度界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有哈密顿量中任意梯度增长的非线性严格椭圆方程的粘性解获得统一的Lipschitz界？
• RQ2 能否在不需哈密顿量具有凸性或强正则性假设的前提下实现此类边界？
• RQ3 是否可能推导出不依赖于解的L∞范数的梯度界，从而支持对遍历极限和长时间行为的研究？
• RQ4 Ishii-Lions方法如何被调整以处理梯度变量中的超二次或任意增长？
• RQ5 扩散矩阵A(x)和哈密顿量H(x,p)需满足何种条件，才能确保在ε和t上的一致梯度界？

主要发现

• 本文建立了统一的Lipschitz界|Dv^ε|∞ ≤ K和|Du(⋅,t)|∞ ≤ K，其中K分别与ε和t无关。
• 边界在最小假设下获得：A(x)严格椭圆，且H满足在x上的Hölder连续性与在p上的增长之间的平衡条件。
• 即使H仅是Hölder连续或不连续，只要存在连续解，该方法依然适用。
• 通过取极限ε→0，该结果可应用于周期设定下求解遍历问题。
• 该方法使通过统一梯度控制研究抛物方程解的大时间行为成为可能。
• 分析提供了关键的迹估计T ≤ 4νΨ′′ + CΨ′|x−y| + O(ϱ)，这对最终的梯度界至关重要。