[论文解读] Lipschitz spaces generated by the Sobolev-Poincaré inequality and extensions of Sobolev functions

Pavel Shvartsman|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2013

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文证明了当 $p > n$ 时，齐次索伯列夫空间 $L_p^{m+1}(\bbR^n)$ 可表示为若干 $C^{m,(d)}(\bbR^n)$ 空间的并集——即由特定度量 $d$ 导出的具有 Lipschitz 连续 $m$ 阶导数的函数空间。该文对任意闭子集 $E \subset \bbR^n$ 上的 $L_p^{m+1}(\bbR^n)$ 的迹提供了内在刻画，通过基于度量的索伯列夫-庞加莱不等式重构，将经典的惠特尼延拓定理推广至索伯列夫空间。

ABSTRACT

Let $d$ be a metric on $R^n$ and let $C^{m,(d)}(R^n)$ be the space of $C^m$-function on $R^n$ whose partial derivatives of order $m$ belong to the space $Lip(R^n;d)$. We show that the homogeneous Sobolev space $L^{m+1}_p(R^n),p>n,$ can be represented as a union of $C^{m,(d)}(R^n)$-spaces where $d$ belongs to a family of metrics on $R^n$ with certain "nice" properties. This enables us in several important cases to give intrinsic characterizations of the restrictions of Sobolev spaces to arbitrary closed subsets of $R^n$. In particular, we generalize the classical Whitney extension theorem for the space $C^m(R^n)$ to the case of the Sobolev space $L^m_p(R^n)$ whenever $m\ge 1$ and $p>n$.

研究动机与目标

• 为任意闭集 $E \subset \bbR^n$ 提供 $L_p^{m+1}(\bbR^n)$ 的限制的内在刻画，其中 $p > n$。
• 将经典的惠特尼延拓定理从 $C^m(\bbR^n)$ 推广至当 $m \geq 1$ 且 $p > n$ 时的索伯列夫空间 $L_p^m(\bbR^n)$。
• 证明 $L_p^{m+1}(\bbR^n)$ 可通过源自索伯列夫-庞加莱不等式的度量 $d$ 表示为 $C^{m,(d)}(\bbR^n)$ 空间的并集。
• 通过将经典惠特尼延拓算子与度量变换后的 Lipschitz 条件关联，解释其在尺度 $L_p^1(\bbR^n)$，$p > n$ 上的普适性。

提出的方法

• 引入一族基于梯度的 $L_p$-范数并通过改进的索伯列夫-庞加莱不等式导出的 $\bbR^n$ 上的度量 $d$。
• 定义 $\delta_q(x,y;h)$ 为基于 $|\nabla F|$ 局部 $L^q$ 平均的伪度量，该度量控制 $F \in L_p^1(\bbR^n)$，$p > n$ 时的 $|F(x) - F(y)|$。
• 证明 $L_p^1(\bbR^n)$ 与一族此类度量 $d$ 对应的 $\operatorname{Lip}(\bbR^n; d)$ 的并集一致，从而实现内在迹刻画。
• 利用惠特尼立方体分解与 dyadic 树结构控制立方体上导数的振荡性，将其与梯度的 $L_p$-范数关联。
• 建立基于惠特尼立方体上喷射导数差值可 summability 的 $F \in L_p^m(\bbR^n)$ 的判定准则。
• 应用惠特尼延拓算子将函数从 $E$ 延拓至 $\bbR^n$，同时通过基于度量的 Lipschitz 控制保持 $L_p^m$-范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意闭集 $E \subset \bbR^n$，当 $p > n$ 时，$L_p^{m+1}(\bbR^n)|_E$ 的迹空间能否实现内在刻画？
• RQ2 经典惠特尼延拓算子是否能将 $\operatorname{Lip}(E)$ 中的函数延拓至 $\operatorname{Lip}(\bbR^n)$，并保持其属于 $L_p^1(\bbR^n)$，其中 $p > n$？
• RQ3 索伯列夫空间 $L_p^{m+1}(\bbR^n)$ 是否可表示为一族具有特定几何性质的度量 $d$ 对应的 $C^{m,(d)}(\bbR^n)$ 空间的并集？
• RQ4 改进的索伯列夫-庞加莱不等式在生成控制 $L_p^1(\bbR^n)$ 函数振荡性的度量方面起到何种作用？
• RQ5 如何通过基于度量的 Lipschitz 条件对惠特尼延拓算子进行调整，以在 $m \geq 1$，$p > n$ 时保持 $L_p^m(\bbR^n)$-范数？

主要发现

• 当 $p > n$ 时，空间 $L_p^1(\bbR^n)$ 与一族度量 $d$ 对应的 Lipschitz 空间 $\operatorname{Lip}(\bbR^n; d)$ 的并集等距同构，其中每个度量 $d$ 均源自 $|\nabla F|$ 的局部 $L^q$-平均。
• 对每个 $F \in L_p^1(\bbR^n)$，$p > n$，存在 $h \in L_p(\bbR^n)$，使得 $|F(x) - F(y)| \leq \delta_q(x,y;h)$，其中 $\delta_q$ 通过 $h^q$ 的立方体平均定义，且满足 $\|h\|_{L_p} \leq C(n,p,q)\|F\|_{L_p^1}$。
• 经典惠特尼延拓算子提供了一个线性、连续的延拓映射，从 $\operatorname{Lip}(E)$ 到 $\operatorname{Lip}(\bbR^n)$，并可延拓至 $L_p^1(\bbR^n)$，其中 $p > n$，其 $L_p$-范数最多相差一个常数。
• 迹空间 $L_p^{m+1}(\bbR^n)|_E$ 可通过惠特尼立方体上喷射差值的可 summability 实现内在刻画，且 $L_p^m(\bbR^n)$-范数由参数 $\lambda$ 控制。
• 当相邻惠特尼立方体上 $m$ 阶喷射差值满足涉及 $\lambda^{1/p}$ 的可 summability 条件时，延拓算子保持 $L_p^m(\bbR^n)$-范数。
• 证明表明，当且仅当梯度的 $L_p$-范数通过基于度量的振荡性条件受控时，有 $F \in L_p^m(\bbR^n)$，这推广了经典的惠特尼延拓定理至索伯列夫空间。