[论文解读] Lipschitz type spaces and Landau-Bloch type theorems for harmonic functions and Poisson equations

S-H Chen, Mateljević, M.+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2014

Analytic and geometric function theory参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文建立了单位球 𝔹ⁿ 中调和函数及泊松方程解的利普希茨型空间与兰道-布洛赫定理之间的联系。证明了调和函数的施瓦茨-皮克引理，推导了哈代空间中的布洛赫型定理，并通过正规族方法将兰道-布洛赫定理推广至泊松方程的解，关键结果通过满足 (2) 和 (3) 的控制函数 ω 将梯度界与赫尔德型连续性联系起来。

ABSTRACT

In this paper, we investigate some properties on harmonic functions and solutions to Poisson equations. First, we will discuss the Lipschitz type spaces on harmonic functions. Secondly, we establish the Schwarz-Pick lemma for harmonic functions in the unit ball $\IB^n$ of $\IR^n$, and then we apply it to obtain a Bloch theorem for harmonic functions in Hardy spaces. At last, we use a normal family argument to extend the Landau-Bloch type theorem to functions which are solutions to Poisson equations.

研究动机与目标

• 研究调和函数及泊松方程解在利普希茨型空间中的性质。
• 在单位球 𝔹ⁿ 中为调和函数建立施瓦茨-皮克引理，将经典结果推广至高维情形。
• 利用施瓦茨-皮克引理推导哈代空间中调和函数的布洛赫型定理。
• 通过正规族方法将兰道-布洛赫型定理推广至泊松方程的解。
• 刻画梯度界与通过满足 (2) 和 (3) 的控制函数 ω 所定义的赫尔德型连续性之间的关系。

提出的方法

• 引入由条件 |f(x)−f(y)| ≤ Cω(|x−y|) 对所有 x,y ∈ Ω 定义的利普希茨型空间 Λω(Ω)。
• 应用 𝔹ⁿ 中调和函数的施瓦茨-皮克引理，推导扭曲估计与正规族技术。
• 使用控制函数 ω 为正则控制函数的条件，即 ∫₀^δ ω(t)/t dt ≤ Cω(δ) 与 δ∫δ^∞ ω(t)/t² dt ≤ Cω(δ)，其中 δ < δ₀。
• 应用 Λω-扩张区域的概念，其中 G 中的曲线满足 ∫γ ω(dG(ζ))/dG(ζ) ds(ζ) ≤ Cω(|x−y|)。
• 采用正规族方法分析泊松方程解序列，推导单芽性与覆盖定理。
• 利用涉及雅可比行列式 JF(0) 与梯度界 M(r) 的积分估计，证明调和映射像中存在一个单芽球。

实验结果

研究问题

• RQ1 利普希茨型空间与 Λω-扩张区域中调和函数的梯度界之间有何关系？
• RQ2 调和函数在单位球 𝔹ⁿ 中的施瓦茨-皮克引理的精确形式是什么？
• RQ3 能否从施瓦茨-皮克引理推导出哈代空间中调和函数的布洛赫型定理？
• RQ4 如何将兰道-布洛赫型定理推广至泊松方程的解？
• RQ5 控制函数 ω 需满足何种条件，才能使梯度界蕴含调和函数与泊松方程解的赫尔德连续性？

主要发现

• 当且仅当对所有 x ∈ Ω，有 |∇f(x)| ≤ C ω(dΩ(x))/dΩ(x) 时，调和函数 f 属于 Λω(Ω)，其中 Ω 为 Λω-扩张区域。
• 在 𝔹ⁿ 中调和函数的施瓦茨-皮克引理表明 |F′(ζ)−F′(0)| ≤ M(r) 乘以一个径向衰减因子，从而在半径为 ρ(r) 的球内具有单芽性。
• 调和映射 f(𝔹ⁿ) 包含一个单芽球 𝔹ⁿ(0,R)，其中 R ≥ max₀<r<1 {1 / [2nK(r)]²ⁿ⁻²M(r)[(1+√2)ⁿ−¹+√2−1]}。
• 对于 ℒfᴹ 中的泊松方程解，若雅可比行列式为正且函数在零点附近有下界，则其像包含一个半径为 c₁/2 的球。
• 泊松解的兰道-布洛赫型定理的证明依赖于度理论，以及子序列在 ℒfᴹ 中一致收敛于极限函数。
• 由于雅可比行列式严格为正，且 |g(x)| 在 ∂𝔹ⁿ(0,r₀) 上有下界，因此像中存在单芽球的结论得以保证。