[论文解读] Lipschitz-Volume rigidity in Alexandrov geometry

Nan Li|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文在亚历山德罗夫几何中建立了利普希茨-体积刚性定理：若一个从 $n$-维亚历山德罗夫空间到另一 $n$-维亚历山德罗夫空间的 1-利普希茨映射保持体积，则该映射必为路径等距同构，且其在内部的限制为等距同构。关键结果刻画了当该映射为满射时目标空间的度量结构，证明边界上的粘合必须是等距的——从而证实了佩特鲁宁关于保持亚历山德罗夫曲率上界所需粘合必须为等距的猜想。

ABSTRACT

We prove a Lipschitz-Volume rigidity theorem in Alexandrov geometry, that is, if a 1-Lipschitz map $f\colon X=\amalg X_\ell o Y$ between Alexandrov spaces preserves volume, then it is a path isometry and an isometry when restricted to the interior of $X$. We furthermore characterize the metric structure on $Y$ with respect to $X$ when $f$ is also onto. This implies the converse of Petrunin's Gluing Theorem: if a gluing of two Alexandrov spaces via a bijection between their boundaries produces an Alexandrov space, then the bijection must be an isometry.

研究动机与目标

• 建立亚历山德罗夫空间之间 1-利普希茨且保持体积的映射的刚性定理。
• 当此类映射为满射时，刻画目标空间的度量结构。
• 解决佩特鲁宁关于构造亚历山德罗夫空间时边界等距粘合的必要性猜想。
• 通过度量结构分析，提供亚历山德罗夫空间体积保持粘合的必要条件。
• 将体积刚性结果推广至带有边界的奇异空间，扩展已知的流形与里奇极限空间结果。

提出的方法

• 使用亚历山德罗夫空间的不交并 $X = igsqcup X_ u$ 来建模粘合结构。
• 应用内在度量与豪斯多夫测度来定义体积与路径长度。
• 利用体积保持性与 1-利普希茨条件蕴含路径长度保持的性质。
• 应用佩雷尔曼的稳定性定理，分析具有最大体积的空间的格罗莫夫-豪斯多夫极限。
• 应用度量空间粘合与边界球面上等距对合的理论，刻画极限空间。
• 利用史密斯定理与庞加莱对偶性，推断自粘合空间的拓扑类型（例如同伦球面）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，亚历山德罗夫空间之间的 1-利普希茨且保持体积的映射成为路径等距同构？
• RQ2 若此类映射也是满射，则目标空间必须具有何种度量结构？
• RQ3 为使结果空间仍为亚历山德罗夫空间，边界等距粘合是否为必要条件？
• RQ4 能否通过等距对合将体积最大的亚历山德罗夫空间刻画为自粘合的度量锥？
• RQ5 当通过体积保持方式沿边界粘合亚历山德罗夫空间构造空间时，会产生何种拓扑约束？

主要发现

• 从 $n$-维亚历山德罗夫空间 $X = igsqcup X_ u$ 到 $Y$ 的 1-利普希茨且保持体积的映射 $f$ 是路径等距同构。
• $f$ 在 $X$ 内部的限制关于内在度量是等距同构。
• 若 $f$ 是满射，则 $Y$ 上的度量由粘合关系 $x_1 hicksim x_2 ext{ iff } f(x_1) = f(x_2)$ 导出，且该粘合为等距。
• $Y$ 中任意点的原像为有限集，且具有多重原像的点完全位于 $X$ 的边界上。
• $Y$ 中恰好有两个原像的点的集合的豪斯多夫维数为 $n-1$，具有三个或更多原像的点的集合的维数至多为 $n-2$。
• 佩特鲁宁粘合定理的逆定理成立：若通过边界之间双射粘合两个亚历山德罗夫空间后得到的仍是亚历山德罗夫空间，则该双射必为等距。