[论文解读] Liquid Welfare Guarantees for No-Regret Learning in Sequential Budgeted Auctions

Giannis Fikioris, Éva Tardos|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2022

Auction Theory and Applications参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文在预算约束投标人使用无遗憾学习策略的顺序第一价格拍卖中，建立了液态福利的保障。在每个玩家的效用处于通过价值遮蔽实现的最优效用的 γ 倍范围内的行为假设下，作者证明了对于可加估值，其无效率价格（price of anarchy）为 γ + 1/2 + O(1/γ)，该界渐近紧致，且显著优于在相同条件下第二价格拍卖中无界的损失。

ABSTRACT

We study the liquid welfare in sequential first-price auctions with budget-limited buyers. We focus on first-price auctions, which are increasingly commonly used in many settings, and consider liquid welfare, a natural and well-studied generalization of social welfare for buyers with budgets. We use a behavioral model for the buyers, assuming a learning style guarantee: the resulting utility of each buyer is within a $γ$ factor (where $γ\ge 1$) of the utility achievable by shading her value with the same factor at each round. Under this assumption, we show a $γ+1/2+O(1/γ)$ price of anarchy for liquid welfare assuming buyers have additive valuations. This positive result is in contrast to sequential second-price auctions, where even with $γ=1$, the resulting liquid welfare can be arbitrarily smaller than the maximum liquid welfare. We prove a lower bound of $γ$ on the liquid welfare loss under the above assumption in first-price auctions, making our bound asymptotically tight. For the case when $γ= 1$ our theorem implies a price of anarchy upper bound that is about $2.41$; we show a lower bound of $2$ for that case. We also give a learning algorithm that the players can use to achieve the guarantee needed for our liquid welfare result. Our algorithm achieves utility within a $γ=O(1)$ factor of the optimal utility even when a buyer's values and the bids of the other buyers are chosen adversarially, assuming the buyer's budget grows linearly with time. The competitiveness guarantee of the learning algorithm deteriorates somewhat as the budget grows slower than linearly with time. Finally, we extend our liquid welfare results for the case where buyers have submodular valuations over the set of items they win across iterations with a slightly worse price of anarchy bound of $γ+1+O(1/γ)$ compared to the guarantee for the additive case.

研究动机与目标

• 分析当投标人预算受限且使用无遗憾学习策略时，顺序第一价格拍卖的效率。
• 在一般行为模型下建立液态福利的可证明界，其中投标人实现的效用在最优遮蔽策略的 γ 倍范围内。
• 在类似学习假设下，对比第一价格拍卖与第二价格拍卖的表现，特别是关于福利损失的比较。
• 设计一种学习算法，确保投标人即使在对抗性价值和出价序列下，也能实现与最优效用相差 O(1) 的结果，前提是预算线性增长。
• 将结果扩展至次模估值，并分析由此产生的无效率价格界。

提出的方法

• 作者将投标人建模为使用乘法遮蔽因子 λ 来调整其出价相对于真实价值的策略，关键假设是每位投标人的效用处于使用相同 λ 进行遮蔽所能达到的最优效用的 γ 倍范围内。
• 基于投标人是否预算受限，推导其个体效用的下界，利用支付、价值与遮蔽因子 λ 之间的关系。
• 证明将投标人划分为超过预算者（X）与未超预算者（Y），并应用集中不等式以确保所有投标人获得高概率保障。
• 通过在遮蔽因子 λ 上进行优化，作者推导出依赖于 γ 的无效率价格界，以最小化最优与实际液态福利之间的比值。
• 分析使用竞争比框架与遗憾界，将实际表现与事后可实现的最优液态福利相联系。
• 所设计的学习算法可确保即使在对抗性输入下，投标人也能实现与最优效用相差 O(1) 的结果，但当预算子线性增长时性能会下降。

Figure 1 : Price of Anarchy plots for Theorems 4.2 and 7.1 for $\gamma\in[1,10]$ .

实验结果

研究问题

• RQ1 当投标人使用具有有界竞争比 γ 的无遗憾学习策略时，顺序第一价格拍卖中液态福利的最坏情况损失是多少？
• RQ2 在相同遮蔽与遗憾行为假设下，第一价格拍卖与第二价格拍卖的表现如何比较？
• RQ3 能否设计一种学习算法，使得投标人即使在价值和其他投标人出价被对抗性选择时，也能实现与最优效用相差 O(1) 的结果？
• RQ4 当投标人具有次模估值而非可加估值时，液态福利的无效率价格是多少？
• RQ5 液态福利的界如何依赖于竞争比 γ？所推导的界是否渐近紧致？

主要发现

• 本文在 γ-竞争遗憾假设下，为具有可加估值的顺序第一价格拍卖中的液态福利建立了无效率价格界 γ + 1/2 + O(1/γ)。
• 该界渐近紧致，因为论文证明在相同行为假设下，液态福利损失的下界为 γ。
• 在特殊情形 γ = 1 时，无效率价格至多约为 2.41，且论文证明该情形下存在 2 的下界。
• 所提出的算法确保每位投标人实现的效用在最优效用的 γ = O(1) 倍范围内，前提是预算随时间线性增长。
• 当预算子线性增长时，学习算法的竞争力保证会下降，但仍然有界。
• 对于次模估值，无效率价格界退化为 γ + 1 + O(1/γ)，略差于可加估值情形。