[论文解读] Liquidation in Limit Order Books with Controlled Intensity

Erhan Bayraktar, Michael Ludkovski|arXiv (Cornell University)|May 2, 2011

Economic theories and models参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文提出了一个在限价委托簿中进行最优平仓的建模与求解方法，其中通过限价单价格控制交易强度，并通过依赖买卖价差的点过程来建模成交风险。通过粘性解方法，建立了离散状态最优控制向连续流体极限的收敛性，为幂律和指数衰减的委托簿模型提供了显式解，并对多资产、多交易所情形给出了渐近近似解。

ABSTRACT

We consider a framework for solving optimal liquidation problems in limit order books. In particular, order arrivals are modeled as a point process whose intensity depends on the liquidation price. We set up a stochastic control problem in which the goal is to maximize the expected revenue from liquidating the entire position held. We solve this optimal liquidation problem for power-law and exponential-decay order book models and discuss several extensions. We also consider the continuous selling (or fluid) limit when the trading units are ever smaller and the intensity is ever larger. This limit provides an analytical approximation to the value function and the optimal solution. Using techniques from viscosity solutions we show that the discrete state problem and its optimal solution converge to the corresponding quantities in the continuous selling limit uniformly on compacts.

研究动机与目标

• 建模在限价委托簿中大额头寸的最优平仓，其中成交风险源于通过限价单价格控制的订单到达时间。
• 制定一个随机控制问题，以最大化平仓的期望收益，同时考虑可控的交易强度和时间至成交风险。
• 分析离散状态问题的流体极限，通过粘性解技术证明价值函数和最优控制在紧集上的一致收敛性。
• 为幂律和指数衰减的委托簿模型推导显式解，并扩展至具有不同订单规模和强度的多交易所情形。
• 在存在大额、稀疏交易的情况下，对小额订单交易的渐近近似解进行推导，使用小强度参数的摄动分析。

提出的方法

• 将平仓建模为一个受控点过程，其中订单成交的强度依赖于高于买价的价差 $ s_t $，由 $ \Lambda(s_t) $ 控制到达率。
• 采用随机控制框架，以最大化 $ n $ 股的期望收益，若在时间 $ T $ 前未完全成交，则最终收益为零。
• 应用粘性解理论，证明在紧集上离散状态价值函数和最优控制一致收敛于其连续流体极限。
• 推导价值函数 $ v(x) $ 的流体极限常微分方程（ODE），通过在大小为 $ \delta $ 的区间上逐段拼接求解，由于离散交易规模的存在而具有延迟结构。
• 对于多交易所模型，推导出一个具有两个控制强度的非线性延迟ODE，分别对应小订单和大订单，通过在小 $ \lambda_1 $ 下的摄动方法求解。
• 使用小 $ \lambda_1 $ 的渐近展开，推导出一阶校正项 $ v_1(x) $ 的闭式表达式，利用积分因子法获得显式解。

实验结果

研究问题

• RQ1 最优平仓策略如何依赖于由限价单价格控制的订单成交强度？
• RQ2 离散状态最优控制问题向其连续流体极限的收敛行为如何？能否通过粘性解方法严格证明？
• RQ3 在幂律和指数衰减的委托簿深度模型下，最优平仓问题的显式解是什么？
• RQ4 多个交易所（每个具有不同的订单规模和强度）的存在如何影响最优平仓策略和价值函数？
• RQ5 当一个交易所（如暗池）的强度远低于其他交易所时，价值函数的渐近近似解是什么？

主要发现

• 离散状态最优平仓问题的流体极限在紧集上一致收敛于连续状态问题，通过粘性解技术证明了价值函数和最优控制的一致收敛性。
• 对于幂律委托簿模型，价值函数满足一个非线性ODE，通过在大小为 $ \delta $ 的区间上逐段拼接求解，零点处的奇点通过一阶近似 $ v_0(x) \propto x^{(\alpha-1)/\alpha} $ 解决。
• 具有小订单和大订单交易的多交易所模型的解为一阶非线性延迟ODE，可通过在区间 $ [n\delta, (n+1)\delta] $ 上迭代拼接求解。
• 当 $ \lambda_1 $ 较小时，一阶校正项 $ v_1(x) $ 以闭式表达，使用积分因子法，显式表达式包含 $ y^{B_\alpha + \alpha - 1} $ 项的幂次与积分。
• 一阶主导解 $ v_0(x) $ 与单交易所结果一致，验证了与简化模型的兼容性。
• 价值函数通常不是凹函数，由于离散交易规模结构，在节点 $ \delta, 2\delta, \ldots $ 处可能出现不可微性和凹性丧失。