[论文解读] List-coloring embedded graphs without cycles of lengths 4 to 8

Zdenĕk Dvořák, Luke Postle|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 15被引用 16

一句话总结

本文证明了不含长度为4至8的环的平面图是3-可选的，解决了Borodin提出的问题。通过引入一种新颖的变体——对应着色（correspondence coloring），该方法推广了列表着色，使得此前仅在普通着色中有效的结构约化技术得以应用，从而在环长限制下确立了3-可选性。

ABSTRACT

The well-known Steinberg's conjecture postulates that every planar graph without 4-cycles and 5-cycles is 3-colorable. The list-coloring version of this claim is known to be false. However, we prove that excluding cycles of lengths 4 to 8 is sufficient to guarantee 3-choosability of a planar graph, thus answering a question of Borodin. For the proof, we use a new variant of graph coloring called correspondence coloring which generalizes list coloring and allows for reductions previously only possible for ordinary coloring.

研究动机与目标

• 解决Borodin关于排除长度4至8环的平面图的3-可选性问题。
• 确立长度4至8的环的缺失足以保证3-可选性，即使列表着色版本的Steinberg猜想不成立。
• 开发并应用一种新的着色框架——对应着色，该框架推广了列表着色，并实现了结构约化。

提出的方法

• 将对应着色引入为列表着色的推广，允许基于边的更灵活的颜色分配。
• 利用对应着色模拟通常仅在普通着色中有效的结构约化，从而将这些技术的适用范围扩展到列表着色场景。
• 在对应着色框架内使用放电法分析最小反例的结构。
• 证明在对应着色下，不含长度4至8环的图不可能包含某些可约配置，若3-可选性不成立则导致矛盾。
• 利用短环（4–8）的缺失来控制局部结构，并在放电过程中强制实现可约性条件。
• 证明此类图中所有可能的配置在对应着色下均可约，从而蕴含3-可选性。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管列表着色版本的Steinberg猜想不成立，不含长度4至8环的平面图是否都是3-可选的？
• RQ2 对应着色能否用于将普通着色中的结构约化技术扩展到列表着色问题？
• RQ3 排除长度4至8的环是否足以保证平面图的3-可选性？
• RQ4 不含长度4至8环的平面图的何种结构特性使其在对应着色下可实现3-可选性？
• RQ5 对应着色如何使3-可选性的证明成为可能，而传统列表着色方法却失败？

主要发现

• 不含长度4至8环的平面图是3-可选的，证实了Borodin在该限制情况下的猜想。
• 长度4至8环的缺失确保了所有可能的3-可选性最小反例在对应着色下均具有结构可约性。
• 对应着色使得普通着色中的结构约化技术能够被转移到列表着色中，克服了标准列表着色的局限性。
• 该证明表明，在对应着色框架下，不含长度4至8环的平面图不可能是3-可选性的一个最小反例。
• 该结果对Borodin关于在环长限制下3-可选性的问题给出了肯定回答，即使列表着色版本的Steinberg猜想为假。