[论文解读] List Colouring Squares of Planar Graphs

Frédéric Havet, Jan van den Heuvel+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用 8

一句话总结

该论文证明了当 Δ → ∞ 时，任意最大度为 Δ 的平面图的平方图的列表色数至多为 (3/2 + o(1))Δ，从而证明了 Wegner 猜想的渐近版本。该证明将问题归约为线图的列表边染色，并应用 Kahn 关于列表色指数与分数色指数渐近等价的结果，将该界推广至更广泛的图类，包括 K₄-无小图的图和嵌入曲面的图。

ABSTRACT

In 1977, Wegner conjectured that the chromatic number of the square of every planar graph $G$ with maximum degree $Δ\ge8$ is at most $\bigl\lfloor\frac32Δ\bigr floor+1$. We show that it is at most $\frac32 Δ(1+o(1))$ (where the $o(1)$ is as $Δ o+\infty$), and indeed that this is true for the list chromatic number and for more general classes of graphs.

研究动机与目标

• 建立平面图平方图的列表色数的渐近上界，确认 Wegner 猜想的弱化形式。
• 将该界推广至平面图以外的更广泛图类，如 K₄-无小图的图和可嵌入固定曲面的图。
• 研究图平方图的列表色数是否等于色数，特别是对平面图而言。
• 探讨图平方图中列表色数与分数色数之间的关系。
• 确定对于一般图类，χ(G²) ≤ (3/2)Δ + 1 的界是否在 Δ 较大时渐近成立。

提出的方法

• 将图平方图的列表染色问题归约为其线图的列表边染色问题。
• 应用 Kahn 关于列表色指数与分数色指数渐近等价的定理。
• 利用平面图和 K₄-无小图图的结构性质，控制 G² 中的团数与色数。
• 采用放电法和极值图构造，分析最大度与局部密度。
• 应用曲面嵌入图与直径为二的约束结果，推广边界。
• 利用已知的 L(2,1)-标记与边染色结果，推导出 G² 顶点染色的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 Δ → ∞ 时，平面图平方图的列表色数是否渐近有 (3/2 + o(1))Δ 的上界？
• RQ2 Wegner 关于平面图平方图色数的猜想能否推广至大 Δ 下的列表染色？
• RQ3 对于所有平面图，是否都有 ch(G²) = χ(G²) 成立，或该类中存在反例？
• RQ4 对于可嵌入固定曲面 S 的图，是否存在仅依赖于 S 的常数 c_S，使得 ω(G²) ≤ (3/2)Δ + c_S 成立？
• RQ5 对于一个‘良好’图族 F 中的图，是否成立 ch(G²) = (1 + o(1))χ_f(G²)？

主要发现

• 任意最大度为 Δ 的平面图的平方图的列表色数在 Δ → ∞ 时至多为 (3/2 + o(1))Δ。
• 该界可推广至 K₄-无小图图，以及可嵌入任意固定曲面 S 的图，且存在仅依赖于 S 的常数 c_S，使得 ω(G²) ≤ (3/2)Δ + c_S。
• 当 Δ 较大时，平面图平方图的团数 ω(G²) 至多为 (3/2)Δ + 1，与图 1 中的极值例子一致。
• 该结果支持 ch(G²) = χ(G²) 对所有平面图成立的可能性，尽管该问题仍为开放问题。
• 证明方法将问题归约为 Kahn 关于列表边染色的结果，表明对于‘良好’图族中的图，有 ch(G²) ≤ (1 + o(1))χ_f(G²)。
• 本文提供了证据表明，渐近界 (3/2 + o(1))Δ 可能是紧的，如已知的极值构造所示。