[论文解读] List Defective Colorings: Distributed Algorithms and Applications

M. Fuchs, Fabian Kühn|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Cryptography and Data Security被引用 2

一句话总结

本文引入了列表缺陷着色——一种缺陷着色与列表着色的推广——使得在(∆+1)-着色中能够实现更快的确定性分布式算法。通过设计一种在度数和条件下通信高效的定向列表缺陷着色算法，该算法在O(log ∆)轮内完成，作者在CONGEST模型中实现了首个O(√∆·poly log ∆ + log∗n)-轮的确定性(∆+1)-着色算法，其复杂度与目前已知的LOCAL模型复杂度相比，仅相差poly log ∆因子。

ABSTRACT

The distributed coloring problem is at the core of the area of distributed graph algorithms and it is a problem that has seen tremendous progress over the last few years. Much of the remarkable recent progress on deterministic distributed coloring algorithms is based on two main tools: a) defective colorings in which every node of a given color can have a limited number of neighbors of the same color and b) list coloring, a natural generalization of the standard coloring problem that naturally appears when colorings are computed in different stages and one has to extend a previously computed partial coloring to a full coloring. In this paper, we introduce 'list defective colorings', which can be seen as a generalization of these two coloring variants. Essentially, in a list defective coloring instance, each node $v$ is given a list of colors $x_{v,1},\dots,x_{v,p}$ together with a list of defects $d_{v,1},\dots,d_{v,p}$ such that if $v$ is colored with color $x_{v, i}$, it is allowed to have at most $d_{v, i}$ neighbors with color $x_{v, i}$. We highlight the important role of list defective colorings by showing that faster list defective coloring algorithms would directly lead to faster deterministic $(Δ+1)$-coloring algorithms in the LOCAL model. Further, we extend a recent distributed list coloring algorithm by Maus and Tonoyan [DISC '20]. Slightly simplified, we show that if for each node $v$ it holds that $\sum_{i=1}^p \big(d_{v,i}+1)^2 > \mathrm{deg}_G^2(v)\cdot polylogΔ$ then this list defective coloring instance can be solved in a communication-efficient way in only $O(\logΔ)$ communication rounds. This leads to the first deterministic $(Δ+1)$-coloring algorithm in the standard CONGEST model with a time complexity of $O(\sqrtΔ\cdot polylog Δ+\log^* n)$, matching the best time complexity in the LOCAL model up to a $polylogΔ$ factor.

研究动机与目标

• 通过列表缺陷着色将缺陷着色与列表着色统一为一个通用框架。
• 通过利用列表缺陷着色，实现在CONGEST模型中更快的确定性(∆+1)-着色算法。
• 在度数和条件下，建立一种通信高效的定向列表缺陷着色分布式算法。
• 证明改进的列表缺陷着色算法可直接导出更快的(∆+1)-着色算法。

提出的方法

• 提出列表缺陷着色，其中每个节点v拥有p个颜色-缺陷对(xv,i, dv,i)，允许最多dv,i个邻居具有相同颜色xv,i。
• 引入一个涉及v的列表中所有颜色的(dv,i + 1)²之和的条件，以确保足够的颜色多样性，从而实现高效计算。
• 使用Maus和Tonoyan的列表着色算法的修改版本，通过定向和有界出度来适应缺陷约束。
• 应用标准的O(log∗n)-轮O(∆²)-着色作为预处理步骤，以降低最大度数。
• 结合推论4.2与定理1.1，推导出定向列表缺陷着色算法的轮复杂度为O(log ∆)。
• 利用定理1.3将算法组合为完整的(∆+1)-着色解决方案，时间复杂度为O(√∆·poly log ∆ + log∗n)。

实验结果

研究问题

• RQ1 列表缺陷着色能否作为统一框架，用于加速分布式模型中确定性(∆+1)-着色？
• RQ2 在列表缺陷着色中，何种颜色列表与缺陷边界条件可实现CONGEST模型中的通信高效？
• RQ3 列表缺陷着色的轮复杂度如何影响(∆+1)-着色的整体复杂度？
• RQ4 所提出的算法能否在约束更强的CONGEST模型中实现与最佳LOCAL模型算法相当的时间复杂度？

主要发现

• 本文提出了CONGEST模型中首个确定性O(√∆·poly log ∆ + log∗n)-轮(∆+1)-着色算法。
• 该算法的时间复杂度与LOCAL模型中目前已知的最佳复杂度相比，仅相差poly log ∆因子。
• 效率的关键条件是∑ᵢ (dv,i + 1)² > deg²_G(v) · poly log ∆，该条件可确保足够的颜色多样性。
• 该算法采用预处理步骤，在O(log∗n)轮内计算出O(∆²)-着色，从而将问题简化为有界度数的子图。
• 在给定条件下，定向列表缺陷着色算法实现了O(log ∆)轮复杂度，从而支持高效组合。
• 对于大小为O(∆)的颜色空间，时间复杂度为O(√∆·log²∆·log⁶log∆ + log∗n)，在给定假设下为紧致复杂度。