[论文解读] Littelmann path model for geometric crystals, Whittaker functions on Lie groups and Brownian motion

Reda Chhaibi|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Bayesian Methods and Mixture Models被引用 18

一句话总结

本文为复半单李群中的几何晶体建立了一个 Littelmann 路径模型，通过 Wiener 测度和完全正性构造了一个典范测度，将表示理论与概率联系起来。推导出 Whittaker 函数作为该测度的拉普拉斯变换，表明其在组合晶体中推广了特征标，并在几何设定下恢复了 Duistermaat-Heckman 测度和 Littlewood-Richardson 法则。

ABSTRACT

Generally speaking, this thesis focuses on the interplay between the representations of Lie groups and probability theory. It subdivides into essentially three parts. In a first rather algebraic part, we construct a path model for geometric crystals in the sense of Berenstein and Kazhdan, for complex semi-simple Lie groups. We will mainly describe the algebraic structure, its natural morphisms and parameterizations. The theory of total positivity will play a particularly important role. Then, we anticipate on the probabilistic part by exhibiting a canonical measure on geometric crystals. It uses as ingredients the superpotential for the flag manifold and a measure invariant under the crystal actions. The image measure under the weight map plays the role of Duistermaat-Heckman measure. Its Laplace transform defines Whittaker functions, providing an interesting formula for all Lie groups. Then it appears clearly that Whittaker functions are to geometric crystals, what characters are to combinatorial crystals. The Littlewood-Richardson rule is also exposed. Finally we present the probabilistic approach that allows to find the canonical measure. It is based on the fundamental idea that the Wiener measure will induce the adequate measure on the algebraic structures through the path model. In the last chapter, we show how our geometric model degenerates to the continuous classical Littelmann path model and thus recover known results. For example, the canonical measure on a geometric crystal of highest weight degenerates into a uniform measure on a polytope, and recovers the parameterizations of continuous crystals.

研究动机与目标

• 为复半单李群中的几何晶体发展一个 Littelmann 路径模型。
• 利用势函数和晶体作用下的不变性，在几何晶体上构造一个典范测度。
• 证明该测度的拉普拉斯变换在所有李群中均给出 Whittaker 函数。
• 证明 Whittaker 函数在几何晶体中的作用，类似于组合晶体中特征标的对应角色。
• 通过退化到经典连续路径模型，恢复已知结果，如 Littlewood-Richardson 法则和多面体上的均匀测度。

提出的方法

• 基于 Berenstein 和 Kazhdan 的框架，利用完全正性，为几何晶体构造一个路径模型。
• 利用旗流形上的势函数和晶体作用下的不变性，在几何晶体上定义一个典范测度。
• 使用权映射将测度投影，识别其像为 Duistermaat-Heckman 型测度。
• 将 Whittaker 函数推导为该测度的拉普拉斯变换，为所有李群建立一个通用公式。
• 应用路径上的 Wiener 测度，诱导出几何晶体上的典范测度，从而将概率与代数结构联系起来。
• 证明几何模型退化为连续经典 Littelmann 路径模型，从而恢复已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Littelmann 路径模型扩展到复半单李群中的几何晶体？
• RQ2 利用完全正性和不变性，在几何晶体上自然出现的典范测度是什么？
• RQ3 Whittaker 函数如何作为该测度在所有李群中的拉普拉斯变换出现？
• RQ4 Whittaker 函数在几何晶体的语境中如何推广组合晶体中的特征标？
• RQ5 几何模型如何退化为经典连续路径模型，以及恢复了哪些已知结果？

主要发现

• 几何晶体上的典范测度通过旗流形上的势函数和晶体作用下的不变性构造而成。
• 该测度在权映射下的像是一个 Duistermaat-Heckman 测度，推广了辛几何中的已知结果。
• Whittaker 函数被证明是该典范测度的拉普拉斯变换，为所有复半单李群提供了一个通用公式。
• Whittaker 函数在几何晶体中的作用，类似于组合晶体中特征标的对应角色。
• 通过几何晶体的结构及其测度，恢复了 Littlewood-Richardson 法则。
• 几何模型退化为连续经典 Littelmann 路径模型，恢复了多面体上的均匀测度和连续晶体的已知参数化。