[论文解读] $Lmc-$compactification of a semitopological semigroup as a space of e-ultrafilters

M. Akbari Tootkaboni|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Rings, Modules, and Algebras参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文将局部紧致半拓扑半群的 $Lmc$-紧化重构为 $e$-超滤子空间，提供了该紧化的拓扑与代数刻画。关键贡献在于给出了 $S^* = S^{Lmc} \setminus \varepsilon(S)$ 成为左理想的充要条件：对所有 $x,y \in S$，存在一个紧致零集 $A$，使得 $x \in A^\dagger$ 且 $\{t \in S : yt \in A\}$ 是紧致的。

ABSTRACT

Let $S$ be a semitopological semigroup and $\mathcal{CB}(S)$ denotes the $C^*$-algebra of all bounded complex valued continuous functions on $S$ with uniform norm. A function $f\in \mathcal{CB}(S)$ is left multiplicative \linebreak continuous if and only if $\mathbf{T}_μf\in \mathcal{CB}(S)$ for all $μ$ in the spectrum of $\mathcal{CB}(S)$, where $\mathbf{T}_μf(s)=μ(L_sf)$ and $L_sf(x)=f(sx)$ for each $s,x\in S$. The collection of all left multiplicative continuous functions on $S$ is denoted by $Lmc(S)$. In this paper, the $Lmc-$compactification of a semitopological semigroup S is reconstructed as a space of $e-$ultrafilters. This construction is applied to obtain some algebraic properties of \linebreak $(\varepsilon ,\s)$, that $ \s $ is the spectrum of $Lmc(S)$, for semitopological semigroups $S$. It is shown that if S is a locally compact semitopological semigroup, then $S^*=\s \setminus \varepsilon(S)$ is a left ideal of $\s$ if and only if for each $x,y\in S$, there exists a compact zero set $A$ such that $x\in A$ and $\{t\in S:yt\in A\}$ is a compact set.

研究动机与目标

• 提供一种利用 $e$-超滤子对半拓扑半群的 $Lmc$-紧化进行新的拓扑与代数构造。
• 刻画 $Lmc(S)$ 代数的谱 $S^{Lmc}$ 的结构，该代数由左乘连续有界复值函数构成。
• 确定在局部紧致半拓扑半群中，$S^* = S^{Lmc} \setminus \varepsilon(S)$ 成为 $S^{Lmc}$ 中左理想的条件。
• 将已知的 Stone-Čech 紧化 ($\beta S$) 结果推广至 $Lmc$-紧化框架。
• 澄清拓扑左消去性与 $S^{Lmc}$ 中理想结构之间的关系，特别是针对局部紧致半拓扑半群。

提出的方法

• 将 $Lmc(S)$ 定义为 $S$ 上有界复值连续函数的 $C^*$-代数，使得对所有 $\mu$ 属于 $\mathcal{CB}(S)$ 的谱，映射 $s \mapsto \mu(L_s f)$ 属于 $\mathcal{CB}(S)$。
• 将 $Lmc$-紧化 $S^{Lmc}$ 构造为 $Lmc(S)$ 的谱，并配备 Gelfand 拓扑。
• 将 $S^{Lmc}$ 重构为 $e$-超滤子空间，其中 $e$-滤子通过 $Lmc(S)$ 中函数的零集来定义。
• 在 $e$-超滤子空间上赋予拓扑，并定义二元运算，使其成为一个右拓扑半群。
• 利用 $z$-滤子与 $e$-滤子之间的对应关系，关联 $\mathcal{CB}(S)$ 与 $Lmc(S)$ 中的理想结构，借鉴 [3, 2L] 中的技术。
• 应用该构造分析 $S^{Lmc}$ 的理想结构，特别是集合 $S^* = S^{Lmc} \setminus \varepsilon(S)$，并推导其成为左理想的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部紧致半拓扑半群 $S$ 中，集合 $S^* = S^{Lmc} \setminus \varepsilon(S)$ 何时成为 $S^{Lmc}$ 中的左理想？
• RQ2 如何将半拓扑半群的 $Lmc$-紧化刻画为 $e$-超滤子空间？
• RQ3 拓扑弱左消去性与 $S^{Lmc}$ 的理想结构之间存在何种关系？
• RQ4 $\beta S$（Stone-Čech 紧化）的哪些性质可推广至 $S^{Lmc}$？
• RQ5 何时评价映射 $\varepsilon: S \to S^{Lmc}$ 是开映射或单射，这与 $S^{Lmc}$ 的代数结构有何关联？

主要发现

• $Lmc$-紧化 $S^{Lmc}$ 被重构为 $e$-超滤子空间，为该紧化提供了新的拓扑与代数表示。
• 对于局部紧致、非紧致且豪斯多夫的半拓扑半群 $S$，$S^*$ 是 $S^{Lmc}$ 的左理想当且仅当对每个 $x,y \in S$，存在一个紧致零集 $A$，使得 $x \in A^\dagger$ 且 $\{t \in S : yt \in A\}$ 是紧致的。
• 若 $S$ 是拓扑弱左消去的，则 $S^*$ 是 $S^{Lmc}$ 中的闭左理想；反之，若 $S^*$ 是闭左理想，则 $S$ 是拓扑弱左消去的。
• 对于局部紧致拓扑群 $G$，$G^*$ 是 $G^{\mathcal{LUC}}$ 的左理想当且仅当 $G$ 是拓扑弱左消去的。
• $Lmc$-紧化推广了 $\mathcal{LUC}$-紧化；对于局部紧致群，有 $Lmc(G) = \mathcal{LUC}(G)$，且评价映射是开映射。
• 反例表明，即使 $S$ 是消去的，$S^*$ 也不一定是子半群或左理想，如在 $S = (1,\infty)$ 配备加法运算时所示。