[论文解读] LMI Properties and Applications in Systems, Stability, and Control Theory

Ryan J. Caverly, James Richard Forbes|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2019

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 152被引用 76

一句话总结

一份全面的、来自社区的 LMI 属性、技巧及其在系统、稳定性与控制中的应用的汇编，附带对 SDPs 与数值工具的指导。

ABSTRACT

Linear matrix inequalities (LMIs) commonly appear in systems, stability, and control applications. Many analysis and synthesis problems in these areas can be solved as feasibility or optimization problems subject to LMI constraints. Although most well-known LMI properties and manipulation tricks, such as the Schur complement and the congruence transformation, can be found in standard references, many useful LMI properties are scattered throughout the literature. The purpose of this document is to collect and organize properties, tricks, and applications related to LMIs from a number of references together in a single document. In this sense, the document can be thought of as an "LMI encyclopedia" or "LMI cookbook." Proofs of the properties presented in this document are not included when they can be found in the cited references in the interest of brevity. Illustrative examples are included whenever necessary to fully explain a certain property. Multiple equivalent forms of LMIs are often presented to give the reader a choice of which form may be best suited for a particular problem at hand. The equivalency of some of the LMIs in this document may be straightforward to more experienced readers, but the authors believe that some readers may benefit from the presentation of multiple equivalent LMIs.

研究动机与目标

• 聚合并整理文献中广泛分散的 LMI 属性和技巧，以用于系统、稳定性与控制理论。
• 提供多种等效的 LMI 形式，以帮助面向具体问题的建模与求解。
• 解释基础概念（definiteness、LMIs、SDPs）以及求解 LMIs 的实际数值工具。
• 说明 LMIs 如何支撑连续时间和离散时间系统的分析与综合问题。

提出的方法

• 给出 LMIs、definiteness 和矩阵不等式的定义与记法。
• 目录化并归类 LMI 属性与技巧（例如 Schur 补、Young’s relation、投影引理、膨胀）。
• 讨论 semidefinite programming 作为 LMIs 的优化框架及对偶性概念。
• 描述数值工具，包括 SDP 求解器和 LMI 解析器及它们的互操作性。
• 展示 LMIs 如何在控制理论中的稳定性、耗散性和性能分析中出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 LMI 属性和技巧在将控制理论问题重新表达为 LMI 时最有用？
• RQ2 如何利用不同等效的 LMI 形式来满足特定分析或综合任务的需求？
• RQ3 LMIs 与 SDPs 在 Lyapunov 分析、Bounded Real、H2/H infinity 范数及相关引理中扮演何种角色？
• RQ4 哪些数值工具（求解器、解析器）在实践中最好地支持基于 LMI 的优化？

主要发现

• LMIs 为系统、稳定性和控制中的可行性与优化问题提供了一个凸框架。
• 广泛的 LMI 操作技巧（例如 Schur 补、共轭、Young’s relation、投影引理）使得重构更加灵活。
• LMIs 支撑着包括 Lyapunov 不等式、Bounded Real 引理、KYP、耗散性以及各类范数和稳定性分析在内的广泛结果。
• 数值工具（SDP 求解器与 LMI 解析器）促进将矩阵形式的 LMIs 转换为标准 SDP 形式以便计算。
• 该文档对大量属性与技巧进行了分组并予以澄清，帮助研究人员在连续时间与离散时间域内对 LMIs 的表述与求解。