[论文解读] Local adiabatic quantum search with different paths

Recep Eryiğit, Y. Gündüç+1 more|ArXiv.org|Sep 28, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种广义的局部绝热量子搜索算法，通过引入一个‘确保成功’的哈密顿量作为控制项，稳定了最小谱隙，使搜索时间趋近于与数据库大小N无关的常数。通过定制的驱动哈密顿量调整演化路径，该算法实现了渐近的常数时间复杂度，有效超越了无预言机访问时Grover算法的O(√N)量级。

ABSTRACT

We report on a detailed analysis of generalization of the local adiabatic search algorithm. Instead of evolving directly from an initial ground state Hamiltonian to a solution Hamiltonian a different evolution path is introduced and is shown that the time required to find an item in a database of size $N$ can be made to be independent of the size of the database by modifying the Hamiltonian used to evolve the system.

研究动机与目标

• 通过引入由控制哈密顿量引导的替代演化路径，推广局部绝热量子搜索算法。
• 通过操控谱隙，将绝热量子搜索的时间复杂度降低至标准O(√N)量级以下。
• 分析在演化过程中最小能隙是否能保持远离零，从而实现更快的绝热演化。
• 研究算法加速与构建所需哈密顿量复杂度之间的权衡。

提出的方法

• 引入时间依赖的哈密顿量 H̃(s) = (1−s)H₀ + sHₘ + s(1−s)H_D，其中H_D是源自Bae和Kwon提出的‘确保成功’哈密顿量的控制哈密顿量。
• 使用局部绝热近似，根据瞬时谱隙g(s)和矩阵元|⟨dH̃/ds⟩₁₀|动态调整演化速率ds/dt。
• 推导出演化速率ds/dt = ε·g²(s)，确保在每个时间步长都满足局部绝热条件。
• 求解得到的微分方程以获得s(t)，其涉及谱隙函数根的反双曲正切函数。
• 通过在s=1处评估s(t)来分析总演化时间T的渐近行为，表明当N → ∞时，T → (1 + π/4)。
• 将所得演化路径与时间复杂度与标准局部绝热算法（Roland和Cerf）进行比较，表明其收敛速度更快。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过控制哈密顿量调整的演化路径是否能稳定最小谱隙并缩短绝热演化时间？
• RQ2 引入‘确保成功’哈密顿量项是否能使算法运行时间随着N增大而趋近于常数？
• RQ3 该广义绝热搜索的时间复杂度与Grover算法的O(√N)相比如何？
• RQ4 在大N极限下，总演化时间T的渐近行为是什么？
• RQ5 驱动哈密顿量H_D的选择如何影响谱隙和演化速度？

主要发现

• 由于引入了H_D项，最小谱隙g_min保持远离零，避免了谱隙通常的反平方根量级缩放。
• 总演化时间T在N → ∞时渐近趋近于常数(1 + π/4) ≈ 1.785，与系统大小无关。
• 该算法的运行时间几乎与N无关，相较于标准绝热算法和Grover算法的O(√N)量级有显著改进。
• 如图2中N=64时的s(t)曲线所示，演化路径明显快于标准局部绝热算法。
• 时间复杂度实质上从搜索过程转移到了哈密顿量的构建上，后者必须包含对标记态|m⟩的先验知识。
• 该结果与Das等人方法类似，但通过采用不同的H_D参数化形式a(s)=b(s)=√(s(s+1))，实现了更低的渐近时间1。