[论文解读] Local algorithms for Maximum Cut and Minimum Bisection on locally treelike regular graphs of large degree

A. El Alaoui, Andrea Montanari+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2021

Graph theory and applications被引用 4

一句话总结

本文提出了一种局部消息传递算法，用于在大规模度的局部树状正则图上计算近似最优的最大割和最小割分划。该算法的时间复杂度为 O(nkL)，实现的割值为 nk/4 + nP⋆√(k/4) + o(n) + no(k)(√k) + n√k oL(1)，其中 P⋆ ≈ 0.763166 为帕里斯常数，与随机 k-正则图的理论最优值一致，并在局部算法框架下建立了近似最优性。

ABSTRACT

Given a graph $G$ of degree $k$ over $n$ vertices, we consider the problem of computing a near maximum cut or a near minimum bisection in polynomial time. For graphs of girth $2L$, we develop a local message passing algorithm whose complexity is $O(nkL)$, and that achieves near optimal cut values among all $L$-local algorithms. Focusing on max-cut, the algorithm constructs a cut of value $nk/4+ n\\mathsf{P}_\\star\\sqrt{k/4}+\\mathsf{err}(n,k,L)$, where $\\mathsf{P}_\\star\\approx 0.763166$ is the value of the Parisi formula from spin glass theory, and $\\mathsf{err}(n,k,L)=o_n(n)+no_k(\\sqrt{k})+n \\sqrt{k} o_L(1)$ (subscripts indicate the asymptotic variables). Our result generalizes to locally treelike graphs, i.e., graphs whose girth becomes $2L$ after removing a small fraction of vertices. Earlier work established that, for random $k$-regular graphs, the typical max-cut value is $nk/4+ n\\mathsf{P}_\\star\\sqrt{k/4}+o_n(n)+no_k(\\sqrt{k})$. Therefore our algorithm is nearly optimal on such graphs. An immediate corollary of this result is that random regular graphs have nearly minimum max-cut, and nearly maximum min-bisection among all regular locally treelike graphs. This can be viewed as a combinatorial version of the near-Ramanujan property of random regular graphs.

研究动机与目标

• 设计一种在局部树状正则图（大度）上求解最大割与最小割问题的多项式时间局部算法。
• 实现与随机 k-正则图的帕里斯公式所预测的理论最优值一致的割值。
• 将随机 k-正则图上的结果推广至更广泛的局部树状图类，其中在移除少量顶点后，图的围长仍较大。
• 证明该算法在所有 L-局部算法中的性能近乎最优，且误差项随 n、k 和 L 的增加而衰减。
• 证明随机正则图具有近乎最小的最大割和近乎最大的最小割，从而为近-拉马努金性质提供组合类比。

提出的方法

• 该算法在每个顶点根的 k 叉树（深度为 L）上使用消息传递框架，通过从帕里斯泛函导出的非线性项模拟信念传播。
• 通过基于前一层消息的递归更新，为每个顶点 v 计算局部估计 zv^L 和 zv^L，其中非线性项 Fℓ 和 Hℓ 被设计为逼近自旋玻璃 SK 模型的最优解。
• 该算法应用一种舍入过程，将连续的消息输出转换为 ±1 的赋值 σi ∈ {−1, +1}，以确保最小割的分划近乎平衡，且最大割的分划可行。
• 通过林德贝格交换法与连续时间帕里斯 PDE 比较，推导误差界，表明当 k → ∞ 时，收敛至帕里斯常数 P⋆。
• 分析利用了无重叠间隙假设及帕里斯泛函的性质，以界定算法输出与理论最优值之间的差异。
• 最终解通过翻转 εn 个符号进行调整，以确保最小割的精确平衡，误差控制在 kε 阶。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种局部算法，在大度正则图上实现近似最优的最大割与最小割值？
• RQ2 此类算法的性能是否与自旋玻璃 SK 模型帕里斯公式所预测的理论极限一致？
• RQ3 该算法的性能如何随图的围长与局部树状特性变化，特别是在度 k 趋于无穷大的极限下？
• RQ4 随机 k-正则图在多大程度上实现近乎最小的最大割与近乎最大的最小割？这是否源于其局部树状特性？
• RQ5 能否以 n、k 和 L 表示算法的误差？当 L 增大时，误差是否收敛至最优值？

主要发现

• 该算法实现了最大割值 nk/4 + nP⋆√(k/4) + o(n) + no(k)(√k) + n√k oL(1)，与随机 k-正则图的已知渐近最优值一致。
• 对于最小割，该算法的割值与理论最优值相差 O(√k)，具有相同的误差结构，证实了其近似最优性。
• 帕里斯常数 P⋆ ≈ 0.763166 成为关键的缩放因子，将图划分问题与自旋玻璃理论及 SK 模型联系起来。
• 该算法的误差随 n 衰减为 o(n)，随 k 衰减为 no(k)(√k)，随 L 衰减为 n√k oL(1)，表明当 L 增大时，算法收敛至最优值。
• 该结果表明，随机 k-正则图具有近乎最小的最大割与近乎最大的最小割，为它们的近-拉马努金谱性质提供了组合类比。
• 该算法的时间复杂度为 O(nkL)，适用于大度且中等围长的大型图。