[论文解读] Local algorithms in (weakly) coloured graphs
本文提出在（弱）2-色图中针对最小支配集和最大匹配问题的局部近似算法，表明弱2-色化可实现对两个问题的(Δ+1)/2-近似，达到最优可能的近似因子。在2-色图中，局部近似方案可对最大匹配实现任意好的近似，而支配集问题即使在完整2-色化下仍受(Δ+1)/2限制。
A local algorithm is a distributed algorithm that completes after a constant number of synchronous communication rounds. We present local approximation algorithms for the minimum dominating set problem and the maximum matching problem in 2-coloured and weakly 2-coloured graphs. In a weakly 2-coloured graph, both problems admit a local algorithm with the approximation factor $(Δ+1)/2$, where $Δ$ is the maximum degree of the graph. We also give a matching lower bound proving that there is no local algorithm with a better approximation factor for either of these problems. Furthermore, we show that the stronger assumption of a 2-colouring does not help in the case of the dominating set problem, but there is a local approximation scheme for the maximum matching problem in 2-coloured graphs.
研究动机与目标
- 研究2-色化或弱2-色化提供的对称性破缺信息在局部计算模型中对基本图问题近似可解性的影响程度。
- 确定弱2-色化是否足以实现支配集与匹配问题的常数因子局部近似。
- 为这些问题的确定性局部算法可达到的最佳近似因子建立紧致的上下界。
- 探索局部算法在弱2-色图中的局限性，特别是对独立集问题。
提出的方法
- 本文设计的局部算法在常数轮同步通信内运行，仅依赖于局部邻域信息和节点颜色。
- 对于最大匹配，算法使用递归子程序，通过寻找并沿奇长增广路径（长度为2i−1）进行增广，重复直至不存在此类路径。
- 传播阶段构建以未匹配黑点为根的不相交增广树（长度h=2i−1），通过消息传递识别长度-h增广路径的端点。
- 提议阶段通过从叶节点向根节点传播消息，每棵树选择一条增广路径，当消息相遇时丢弃重复项。
- 增广阶段并行沿选定路径更新匹配，确保无冲突。
- 该算法利用2-色化确保增广路径在黑点与白点之间交替，从而实现高效路径发现与并行增广。
实验结果
研究问题
- RQ1弱2-色化能否实现最小支配集问题的常数因子局部近似？若能，最佳可能近似因子是多少？
- RQ22-色化相较于弱2-色化是否在支配集问题的局部近似中具有显著优势？
- RQ3局部算法能否在2-色图中实现最大匹配的任意好近似？若能，其机制如何？
- RQ4在弱2-色图中是否存在最大独立集问题的局部常数因子近似？抑或该问题在局部计算中本质上不可逼近？
- RQ5这些问题的局部算法能达到的最紧致近似因子是什么？能否证明匹配的下界？
主要发现
- 弱2-色化可实现最小支配集问题的局部(Δ+1)/2-近似，且该因子为最优。
- 在弱2-色图中，最大匹配问题同样可实现(Δ+1)/2-近似，且该界为紧致。
- 在2-色图中，局部近似方案可对最大匹配实现(1+ε)-近似，近似因子可任意接近1。
- 在弱2-色图中，最大独立集问题不存在局部常数因子近似，即使在有界度下亦然。
- 对于支配集与匹配问题，(Δ+1)/2的近似因子在弱2-色图中为最优，已通过匹配的下界证明。
- 2-色化假设并未使支配集问题的近似因子优于弱2-色化所能达到的水平。
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