[论文解读] Local and global canonical height functions for affine space regular automorphisms

Shu Kawaguchi|ArXiv.org|Sep 19, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 8

一句话总结

该论文通过 v-进 Green 函数，为数域上仿射空间的正则多项式自同构构造了局部与全局的典范高度函数。它建立了周期点的 Northcott 型有限性性质，并推导出迭代下高度的精确渐近增长估计，恢复并扩展了此类自同构在算术动力系统中的已知结果。

ABSTRACT

Let f: A^N o A^N be a regular polynomial automorphism defined over a number field K. For each place v of K, we construct the v-adic Green functions G_{f,v} and G_{f^{-1},v} (i.e., the v-adic canonical height functions) for f and f^{-1}. Next we introduce for f the notion of good reduction at v, and using this notion, we show that the sum of v-adic Green functions over all v gives rise to a canonical height function for f that satisfies the Northcott-type finiteness property. Using previous results, we recover results on arithmetic properties of f-periodic points and non f-periodic points. We also obtain an estimate of growth of heights under f and f^{-1}, which is independently obtained by Lee by a different method.

研究动机与目标

• 为数域上仿射空间的正则多项式自同构发展局部 v-进典范高度理论。
• 通过局部 v-进 Green 函数的求和定义全局典范高度函数。
• 利用全局高度函数建立 f-周期点的 Northcott 型有限性性质。
• 推导 f 的正向与反向迭代下高度的精确渐近增长估计。
• 恢复并扩展关于数域上动力系统中周期与非周期轨道算术性质的已知结果。

提出的方法

• 将正向与反向迭代下归一化的对数高度的极限构造为 v-进 Green 函数 G_{f,v} 与 G_{f^{-1},v}。
• 在非阿赋值处引入良好约化的概念，以确保全局高度和的收敛性与有限性。
• 利用希尔伯特零点定理与紧致性论证，建立 Green 函数的统一有界性与增长估计。
• 将全局典范高度定义为数域 K 的所有位置 v 上局部 v-进 Green 函数的和。
• 应用该理论证明典范高度满足 Northcott 型有限性性质，并满足轨道点的精确渐近增长律。
• 利用全局高度函数将 f-周期点表征为典范高度为零的点，并将轨道有界性与所有位置上的局部有界性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过局部 v-进方法为仿射空间的正则多项式自同构构造典范高度函数？
• RQ2 v-进 Green 函数的和是否能产生满足 Northcott 有限性性质的全局典范高度函数？
• RQ3 无限 f-轨道中点的高度的精确渐近增长速率是什么？
• RQ4 局部 v-进 Green 函数在迭代下如何表现？可建立何种有界性？
• RQ5 能否通过全局典范高度的消失来表征 f-周期点的集合？

主要发现

• v-进 Green 函数 G_{f,v} 与 G_{f^{-1},v} 作为逐点极限存在，并在 A^N 的特定子集上满足一致的上界与下界。
• 全局典范高度函数定义为所有位置 v 上 v-进 Green 函数的和，且对 f-周期点满足 Northcott 型有限性性质。
• 无限 f-轨道中高度有界的点的数量的渐近增长为 # {y ∈ O_f(x) | h(y) ≤ T} = (1/log d + 1/log d_-) log T - ĥ(O_f(x)) + O(1) 当 T → ∞。
• 典范高度满足等式 liminf_{h(x)→∞} [ (1/d)h(f(x)) + (1/d_-)h(f^{-1}(x)) ] / h(x) = 1 + 1/(dd_-)，确立了精确的增长速率。
• 当且仅当某点 x 在所有位置 v 的 v-进拓扑下其轨道有界时，该点为 f-周期点，这等价于其全局典范高度为零。
• 该构造恢复并扩展了 Marcello 关于周期点有界高度的结果以及 Lee 的增长估计，现适用于所有维度 N ≥ 2。