[论文解读] Local and global moves on locally planar trivalent graphs, lambda calculus and $\lambda$-Scale

Marius Buliga|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文展示了无类型λ演算和λ-Scale演算可被完全编码于一种局部平面三价图的形式系统中，通过局部与全局图变换实现。显著的是，λ演算中的β约化规则在这些图上表现为一种局部的'缝合'变换，为在低正则性空间（如涌现代数和具有膨胀结构的度量空间上的微分学）中提供计算的几何基础。

ABSTRACT

We give a description of local and global moves on a class of locally planar trivalent graphs and we show that it contains $\lambda$-Scale calculus, therefore in particular untyped lambda calculus. Surprisingly, the beta reduction rule comes from a local "sewing" transformation of trivalent locally planar graphs.

研究动机与目标

• 通过局部平面三价图建立λ演算和λ-Scale演算的几何框架。
• 表明λ演算中的β约化规则自然地源自这些图上的局部拓扑变换。
• 通过基于图的形式系统，统一涌现代数中的计算与低正则性空间中的微分学。
• 通过将计算建模为装饰辫图的变换，为'空间计算'提供严格的几何解释。

提出的方法

• 本文从包含λ、Υ、⋏、⊤以及Γ中元素的ε门（一个交换群）的图形字母表构造一组图，GRAPH，其中节点被装饰并带有循环边序以保证局部平面性。
• 定义了局部变换——如(β)、(ext1)、(ext2)、(R1)、(R2)、(CO-ASSOC)以及剪枝——作为作用于有界大小子图上的变换。
• 引入了全局变换，包括(global FAN-OUT)，以处理变量代换和结构等价性。
• 通过消除变量的(ext1)和(β*)变换，将λ-Scale项转化为图，将其简化为仅含λ、⋏和¯ε门的表达式。
• 本文证明，(CO-ASSOC)变换下的图等价性对应于λ-Scale演算中的α-转换和结构等价性。
• 进一步表明，λ演算中的标准β约化对应于图表示上的单个图形(β)变换，后续通过(global FAN-OUT)、(CO-ASSOC)和剪枝变换完成。

实验结果

研究问题

• RQ1 无类型λ演算能否被完全表示为局部平面三价图上的局部变换系统？
• RQ2 λ演算中的β约化规则如何从这类图上的几何变换中自然涌现？
• RQ3 (β)变换在连接图变换与λ演算计算语义之间起到什么作用？
• RQ4 是否能将统一了λ演算与涌现代数的λ-Scale演算形式系统完全编码于此基于图的系统中？
• RQ5 辫状交叉与 Reidemeister 变换在此框架中如何与膨胀运算的代数结构相关联？

主要发现

• λ演算中的β约化规则在局部平面三价图上几何地实现为一种局部的'缝合'变换，(β)变换作为基本计算步骤。
• 任何仅使用λ、⋏和¯ε操作书写的λ-Scale项均可转化为GRAPH中的图，且所有此类图在有限次(CO-ASSOC)变换下等价。
• λ-Scale演算中的α-转换对应于相应图上有限次(CO-ASSOC)变换序列，确保结构不变性。
• 通过A[x := B]实现的变量代换在图[(xλA)B]上通过单个(β)变换实现，随后经(global FAN-OUT)、(CO-ASSOC)和剪枝变换完成。
• 该形式系统通过ε门支持类似辫子的交叉，且这些交叉在新变换（对应于涌现代数中的左分配律）下满足Reidemeister II移动。
• 从短语树到图的变换保持等价性，且所需(CO-ASSOC)变换次数在短语树的叶节点数上呈指数有界。