[论文解读] Local and global sharp gradient estimates for weighted $p$-harmonic functions

Nguyen Thac Dung, Nguyen Duy Dat|arXiv (Cornell University)|May 28, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 4

一句话总结

本论文在具有下界 $m$-维 Bakry-Émery Ricci 曲率的光滑度量测度空间上，建立了正加权 $p$-特征函数的局部与全局精确梯度估计。利用这些估计，证明了次线性增长函数的 Liouville 型定理，并推导出一个 Harnack 不等式，推广了先前在曲率与密度条件下关于调和函数和 $p$-调和函数的研究结果。

ABSTRACT

Let $(M^n, g, e^{-f}dv)$ be a smooth metric measure space of dimensional $n$. Suppose that $v$ is a positive weighted $p$-eigenfunctions associated to the eigenvalues $λ_{1,p}$ on $M$, namely $$ e^{f}div(e^{-f}| abla v|^{p-2} abla v)=-λ_{1,p}v^{p-1}.$$ in the distribution sense. We first give a local gradient estimate for $v$ provided the $m$-dimmensional Bakry-Émery curvature $Ric_f^{m}$ bounded from below. Consequently, we show that when $Ric_f^m\geq0$ then $v$ is constant if $v$ is of sublinear growth. At the same time, we prove a Harnack inequality for weighted $p$-harmonic functions. Moreover, we show global sharp gradient estimates for weighted $p$-eigenfunctions. Then we use these estimates to study geometric structures at infinity when the first eigenvalue $λ_{1,p}$ obtains its maximal value. Our achievements generalize several results proved ealier by Li-Wang, Munteanu-Wang,...(\cite{LW1, LW2, MW1, MW2})

研究动机与目标

• 在光滑度量测度空间上，建立正加权 $p$-特征函数的精确局部与全局梯度估计。
• 在非负 $m$-Bakry-Émery Ricci 曲率条件下，研究加权 $p$-特征函数在次线性增长下的 Liouville 性质。
• 为加权 $p$-调和函数推导一个 Harnack 不等式。
• 刻画当第一特征值 $\lambda_{1,p}$ 达到其最大可能值时，无穷远处的几何结构。
• 推广 Li-Wang、Munteanu-Wang 等人关于加权与非加权情形下梯度估计与 Liouville 性质的早期结果。

提出的方法

• 在 $Ric_f^m \geq -(m-1)\kappa$ 的条件下，使用改进的 Cheng-Yau 方法，推导正加权 $p$-特征函数的局部梯度估计。
• 利用局部估计，通过方程 $(p-1)y^p - (m-1)y^{p-1} + \lambda_{1,p} = 0$ 的唯一正实根 $y$，获得全局精确梯度估计。
• 利用精确梯度估计，证明当 $Ric_f^m \geq 0$ 时，具有次线性增长的正加权 $p$-特征函数必为常数。
• 基于梯度估计框架，为正加权 $p$-调和函数建立 Harnack 不等式。
• 利用体积增长估计与加权测度空间中的比较定理，分析 $\lambda_{1,p}$ 的最大可能值。
• 通过测试函数与涉及 $f$-Laplacian 及 $p$-次调和函数的能量估计，刻画当 $\lambda_{1,p}$ 达到最大值时的刚性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种曲率与密度条件下，光滑度量测度空间上具有次线性增长的正加权 $p$-特征函数会成为常数？
• RQ2 当 $Ric_f^m \geq -(m-1)$ 时，正加权 $p$-特征函数的精确全局梯度估计是什么？
• RQ3 加权 $p$-调和函数的 Harnack 不等式如何与曲率及权重函数的增长性相关？
• RQ4 当第一特征值 $\lambda_{1,p}$ 达到其最大可能值时，无穷远处会涌现出何种几何结构？
• RQ5 这些结果在多大程度上推广了先前关于调和函数与 $p$-调和函数的 Liouville 型定理与梯度估计？

主要发现

• 建立了局部梯度估计：在 $Ric_f^m \geq -(m-1)\kappa$ 条件下，有 $\frac{|\nabla v|}{v} \leq \frac{C(1 + \sqrt{\kappa}R)}{R}$ 对 $B(o,R/2)$ 成立，其中 $C = C(p,m,n)$。
• 证明了全局精确梯度估计：$|\nabla \ln v| \leq y$，其中 $y$ 是方程 $(p-1)y^p - (m-1)y^{p-1} + \lambda_{1,p} = 0$ 的唯一正实根。
• 为具有 $Ric_f^m \geq -(m-1)$ 的光滑度量测度空间上的正加权 $p$-调和函数推导出 Harnack 不等式。
• 若 $Ric_f^m \geq 0$ 且 $v$ 是具有次线性增长的正加权 $p$-特征函数，则 $v$ 为常数。
• 当 $\lambda_{1,p} = \left(\frac{n-1+a}{p}\right)^p$ 且 $|\nabla f| \leq a$ 时，要么 $M$ 没有加权 $p$-抛物端，要么 $M$ 同构于 $\mathbb{R} \times N$，其中 $N$ 为紧致流形。
• 最大特征值 $\lambda_{1,p}$ 满足 $\lambda_{1,p} \leq \left(\frac{n-1+a}{p}\right)^p$，等号成立时在无穷远处的几何结构具有刚性。