[论文解读] Local and Parallel Finite Element Algorithm Based On Multilevel Discretization for Eigenvalue Problem

Yu Li, Xiaole Han+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文提出了一种用于求解特征值问题的多水平局部并行有限元算法，通过将细尺度特征值问题分解为一系列粗尺度特征值问题和局部边值问题，并行求解。该方法在每个处理器上实现了最优计算工作量，达到了最优收敛速率，显著提升了标准有限元方法的效率。

ABSTRACT

A local and parallel algorithm based on the multilevel discretization is proposed in this paper to solve the eigenvalue problem by the finite element method. With this new scheme, solving the eigenvalue problem in the finest grid is transferred to solutions of the eigenvalue problems on the coarsest mesh and a series of solutions of boundary value problems by using the local and parallel algorithm. The computational work in each processor can reach the optimal order. Therefore, this type of multilevel local and parallel method improves the overall efficiency of solving the eigenvalue problem. Some numerical experiments are presented to validate the efficiency of the new method.

研究动机与目标

• 开发一种高效的数值方法，用于求解科学计算中出现的大规模特征值问题。
• 降低在细网格上求解有限元特征值问题的计算成本。
• 通过局部并行计算实现最优收敛速率，同时最小化每个处理器的计算工作量。
• 将多水平校正和局部有限元技术扩展至特征值问题，提升可扩展性。

提出的方法

• 该方法采用多水平离散化框架，将细尺度特征值问题分解为一系列粗尺度特征值问题和局部边值问题。
• 在每一层上应用局部并行有限元技术求解边值问题，实现独立且并发的计算。
• 通过多水平校正方案迭代校正解，保持最优收敛阶。
• 该算法确保每个处理器的计算工作量达到最优，随问题规模高效扩展。
• 该方法使用线性与二次有限元进行实现，并在结构化和非结构化网格上进行了数值验证。
• 该框架支持扩展至多重特征值，并可与自适应加密技术结合。

实验结果

研究问题

• RQ1 多水平局部并行算法能否在有限元特征值问题上实现最优收敛？
• RQ2 与标准有限元求解器相比，所提方法是否降低了计算成本？
• RQ3 在保持解的精度前提下，能否优化每个处理器的计算工作量？
• RQ4 粗网格尺寸 $H$ 和局部区域尺寸 $\delta$ 的选择如何影响收敛性和效率？
• RQ5 该方法能否扩展至多重特征值和非线性特征值问题？

主要发现

• 所提出的多水平局部并行算法对线性有限元的收敛阶为2，对二次有限元的收敛阶为4，与理论预期一致。
• 数值实验表明，前五个特征值的误差减少遵循约2.0的最优收敛阶，随着网格尺寸减小，收敛速率趋近于2.0。
• 对于第一个特征函数，$H^1$-误差减少的收敛阶约为0.9996，表明接近最优收敛。
• 即使 $\delta$ 较小时，该方法仍保持最优收敛性，尤其对二次有限元，其四阶收敛性得以保持。
• 每个处理器的计算工作量达到最优，且由于计算的局部性和并行性，该方法在多处理器上具有高效可扩展性。
• 在具有变系数扩散项和势能项的数值算例中，该算法对多重特征值和复杂系数矩阵仍保持高效与高精度。