[论文解读] Local approach to thermodynamics of black holes

Ewa Czuchry, Jacek Jezierski+1 more|ArXiv.org|May 14, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在由类光超曲面所界定的时空区域上的引力局部哈密顿量形式化，将黑洞热力学的第一定律作为完整哈密顿量动力学的直接结果，而无需依赖全局对称性。通过分析非膨胀视界上哈密顿量变分中的边界项，作者推导出第一定律的形式为 $-s\delta\mathcal{M} = \frac{1}{8\pi}\kappa\delta A + \Omega\delta J$，其中 $\kappa$、$A$ 和 $J$ 分别为表面重力、视界面积和角动量。

ABSTRACT

Hamiltonian description of gravitational field contained in a spacetime region with boundary $S$ being a null-like hypersurface (a wave front) is discussed. Complete generating formula for the Hamiltonian dynamics (with no surface integrals neglected) is presented. A quasi-local proof of the 1-st law of black holes thermodynamics is obtained as a consequence, in case when $S$ is a non-expanding horizon. The 0-th law and Penrose inequalities are discussed from this point of view.

研究动机与目标

• 在由类光超曲面（一个波前）所界定的时空区域上，发展一种完整且准局部的引力哈密顿量形式化，包括所有边界项。
• 将黑洞热力学的第一定律作为哈密顿量变分公式的直接结果建立起来，而无需假设全局对称性或渐近条件。
• 探讨哈密顿量的凸性与引力系统中类似彭罗斯不等式之间的联系。
• 分析视界上对称性的作用，特别是首选类光测地线生成元的存在，以明确地定义表面重力和角动量。

提出的方法

• 推导出具有类光边界、有限时空区域上的哈密顿量动力学的完整生成公式，同时保持所有曲面积分。
• 将哈密顿量变分公式应用于非膨胀视界（NEH），其诱导度量为退化的，并且视界由2-球面叶状结构组成。
• 识别视界上度量的共轭正则动量，并以边界数据表示哈密顿量泛函的变分。
• 利用视界上存在一个首选类量向量场 $K$ 的事实，通过哈密顿量的变分来定义表面重力 $\kappa$ 和角动量 $J$。
• 利用2-球面上共形结构的对称性，选择坐标使得视界的角速度 $\Omega$ 被良好定义。
• 通过在稳态情况下分离哈密顿量的变分，推导出第一定律，表明 $\delta\mathcal{H} = -\frac{1}{8\pi}\kappa\delta A - \Omega\delta J$。

实验结果

研究问题

• RQ1 黑洞热力学的第一定律能否在不依赖全局渐近结构的前提下，从局部的、准局部的引力哈密顿量形式化中推导出来？
• RQ2 在类光超曲面上，哈密顿量变分中的边界项如何编码能量、熵和角动量等热力学量？
• RQ3 哪些条件能保证哈密顿量的凸性？这与引力系统中类似彭罗斯不等式的关系如何？
• RQ4 如何利用哈密顿量方法在非膨胀视界上内在地定义表面重力 $\kappa$ 和角动量 $J$？
• RQ5 黑洞热力学的第零定律（$\kappa$ 的常数性）能否被理解为视界上场方程和对称性的结果？

主要发现

• 黑洞热力学的第一定律被证明是作为非膨胀视界上完整哈密顿量变分公式的直接结果，而无需假设全局时间平移对称性。
• 哈密顿量的变分给出 $-s\delta\mathcal{M} = \frac{1}{8\pi}\kappa\delta A + \Omega\delta J$，其中 $\mathcal{M}$ 为质量，$A$ 为视界面积，$J$ 为角动量，$\kappa$ 为表面重力，$\Omega$ 为角速度。
• 由于存在一个首选类光生成元 $K$，表面重力 $\kappa$ 被证明在视界上是常数，这与时空的时间对称性相容。
• 角动量 $J$ 通过哈密顿量对角速度 $\Omega$ 的变分来定义，其表达式为 $J = \frac{1}{8\pi}\int_{\partial V^{-}} \mathcal{W}_{\varphi}$，其中 $\mathcal{W}_A$ 是视界上度量的共轭正则动量。
• 视界度量的共形结构允许选择坐标，使得对称性场 $\vec{n} = \partial_0 - K$ 成为旋转场，从而实现 $\Omega$ 和 $J$ 的定义。
• 分析表明，基于线性化引力中的初步结果，引力彭罗斯不等式可能可通过准局部框架中哈密顿量的凸性来证明。