[论文解读] Local asymptotically optimal test in ARCH model

Tewfik Lounis|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文通过建立局部渐近正态性（LAN）并在已知参数下构造最优检验，发展了一类用于ARCH模型中条件异方差性的局部渐近最优（LAO）检验。通过引入一种改进的离散估计量，即使在参数未知时也能保持最优性，并在一般平稳性和遍历性条件下证明了检验的渐近效率。

ABSTRACT

This work is an extension in Arch models of the theorem of S.Y. Hwang and I.V. Basawa Hwang and Basawa (2001) which was used before in nonlinear time series contiguous to AR(1) processes. Our results are established under some general assumptions and stationarity and ergodicity conditions. Local asymptotic normality (LAN) for the log likelihood ratio was established.An optimal test was constructed when the parameter is assumed known. Also the optimality of our test was proved when the parameter is unspecified. The method is based on the introducing of a new estimator.

研究动机与目标

• 将LAO检验框架从AR(1)过程扩展至一般ARCH模型。
• 在一般正则性条件下，为ARCH模型中的对数似然比建立局部渐近正态性（LAN）。
• 在真实参数已知时构造最优检验。
• 通过引入改进的离散估计量，证明当参数未知时检验的最优性。
• 在平稳性、遍历性和矩条件之下确保检验的渐近效率。

提出的方法

• 为包含ARCH的一类广义时间序列模型建立对数似然比的LAN。
• 基于已知参数下的对数似然比，利用Neyman-Pearson引理构造最优检验。
• 应用Le Cam（1960）和Kreiss（1987）的离散估计技术处理未知参数。
• 提出一种改进估计量，将估计误差吸收至中心序列中，以保持渐近最优性。
• 利用Le Cam的第三 lemma 和邻近性理论分析渐近功效与效率。
• 通过中心序列近似推导在局部替代假设下的检验渐近分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 LAO检验框架能否从AR(1)过程推广至一般ARCH模型？
• RQ2 ARCH模型中对数似然比在何种条件下满足局部渐近正态性（LAN）？
• RQ3 在真实参数已知时构造的最优检验，在参数被估计时是否仍保持渐近最优？
• RQ4 如何校正中心序列中的估计误差以保持检验最优性？
• RQ5 在局部替代假设下，所提检验的渐近功效为何？

主要发现

• 本文在一般平稳性和遍历性条件下，为ARCH模型中的对数似然比建立了局部渐近正态性（LAN）。
• 当真实参数（ρ₀, θ₀）已知时，基于LAN性质导出的中心序列构造了最优检验。
• 由于引入了一种新颖的改进离散估计量，可校正中心序列中由估计引起的偏差，因此即使在参数未知时，检验仍保持渐近最优性。
• 推导了检验在局部替代假设下的渐近功效，并证明其在H₁⁽ⁿ⁾形式的局部替代下为最优。
• 对于自由度l > 3的t分布，得分函数˙Mf、¨Mf以及x¨Mf有界，确保了LAN推导的正则性。
• 该方法具有普遍适用性，适用于在较弱矩条件和光滑性条件下的一类广泛时间序列模型，包括AR、ARMA、SETAR和β-ARCH模型。