[论文解读] Local boundedness for weak solutions to some quasilinear elliptic systems

Salvatore Leonardi, Francesco Leonetti+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文通过在非对角系数的支集上引入一种新型结构条件，建立了拟线性椭圆组在散度形式下弱解的局部有界性。该条件确保非零的非对角相互作用仅在解的两个分量的模都较大时发生，从而有效排除了De Giorgi的反例，并使得迭代正则性技术得以应用，以证明局部有界性。

ABSTRACT

We consider quasilinear elliptic systems in divergence form. In general, we cannot expect that weak solutions are locally bounded because of De Giorgi's counterexample. Here we assume a condition on the support of off-diagonal coefficients that "keeps away" the counterexample and allows us to prove local boundedness of weak solutions.

研究动机与目标

• 为解决一般拟线性椭圆组中局部有界性失效的问题，其中De Giorgi的反例表明弱解可能无界。
• 识别系数矩阵的结构条件，以防止反例适用并恢复正则性。
• 将已知的有界性结果从标量情形和三对角系统扩展到具有结构化非对角耦合的更广泛系统类。
• 提供一个基于非对角系数支集的新充分条件，以保证弱解的局部有界性。

提出的方法

• 引入一种新结构条件：若 $ a^{eta,eta}_{i,j}(x,y) \neq 0 $ 对 $ \alpha \neq \beta $ 成立，则 $ |y^\alpha| > L \Rightarrow |y^\beta| > L $，确保非对角耦合仅在两个分量都较大时发生。
• 利用此支集条件防止类似 $ u(x) = x/|x|^\gamma $ 的奇点形成，此类奇点会破坏有界性。
• 应用迭代正则性论证，从第一分量开始，利用标量情形下的梯度衰减和Hölder连续性。
• 在新条件下，利用能量方法和系统结构在球上建立先验估计。
• 构造一个反例，表明所提条件不能由先前假设（如(1.9)）推出，从而证明其新颖性。
• 使用比较和测试技术，结合截断函数，推导弱解在子水平集上的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当De Giorgi反例适用时，能否在拟线性椭圆组中恢复弱解的局部有界性？
• RQ2 非对角系数的何种结构条件可防止反例适用并实现有界性？
• RQ3 所提的非对角系数支集条件是否严格弱于现有假设（如(1.9)）或三对角性？
• RQ4 能否利用此新条件将迭代正则性技术扩展至三对角系统之外？
• RQ5 该新条件是否允许在系统非对角或非三对角时仍保证有界性？

主要发现

• 所提出的非对角系数支集条件——即非零耦合仅在两个分量都较大时发生——可防止De Giorgi型奇点的出现。
• 在此条件下，拟线性系统的弱解是局部有界的，将经典的De Giorgi-Nash-Moser结果推广至系统情形。
• 该条件严格弱于先前假设（如(1.9)），通过构造的反例得到验证：该反例满足新条件但不满足(1.9)。
• 该方法支持有界性的迭代证明：每个分量由于受控的梯度衰减，可从其前驱分量继承正则性。
• 结果在标准假设下成立：系数矩阵具有可测的 $ x $-依赖性、连续的 $ y $-依赖性、有界性及强椭圆性。
• 反例表明，新条件不能由(1.9)推出，从而确认其新颖性与更广的适用范围。