[论文解读] Local bounds, Harnack inequality and Hölder continuity for divergence type elliptic equations with nonstardard growth

Noemí Wolanski|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文在右端项具有最小可积性条件下，为具有变指数 $p(x)$-增长的散度型椭圆方程的非负弱解建立了 Harnack 不等式。当右端项属于变指数 Lebesgue 空间 $L^{q_0(x)}(\Omega)$ 且满足 $q_0(x) > \max\{1, N/p(x)\}$ 时，证明了解的局部有界性和 Hölder 连续性，将经典结果推广至非标准增长情形，并通过 $\|u^{p(x)}\|_{L^1(\Omega)}^{p_{\max}-p_{\min}}$ 实现了解的最优依赖关系。分析依赖于 $p(x)$ 的对数 Hölder 连续性以及强极大值原理的障碍构造。

ABSTRACT

In this paper we obtain a Harnack type inequality for solutions to elliptic equations in divergence form with non-standard $p(x)-$type growth. A model equation is the inhomogeneous $p(x)-$laplacian. Namely, \[ Δ_{p(x)}u:=\mbox{div}\big(| abla u|^{p(x)-2} abla u\big)=f(x)\quad\mbox{in}\quadΩ\] for which we prove Harnack inequality when $f\in L^{q_0}(Ω)$ if $\max\{1,\frac N{p_{min}}\}

研究动机与目标

• 为非齐次 $p(x)$-Laplacian 方程 $\Delta_{p(x)}u = f(x)$ 的非负弱解建立 Harnack 不等式，其中 $f$ 具有最小可积性。
• 当 $f \in L^{q_0(x)}(\Omega)$ 且满足 $q_0(x) > \max\{1, N/p(x)\}$ 时，证明弱解的局部有界性和 Hölder 连续性。
• 将结果推广至一般散度型椭圆方程 $\mathrm{div}\,A(x,u,\nabla u) = B(x,u,\nabla u)$，其具有 $p(x)$-型增长。
• 通过 $\|u^{p(x)}\|_{L^1(\Omega)}^{p_{\max}-p_{\min}}$ 提供 Harnack 常数对解的精确依赖关系，避免使用 $L^\infty$ 范数。

提出的方法

• 假设指数 $p(x)$ 具有对数 Hölder 连续性，以确保变指数空间中必要的紧致性和正则性。
• 使用形如 $w(x) = A \frac{e^{-\mu|x-x_0|^2/\delta^2} - e^{-\mu}}{e^{-\mu/4} - e^{-\mu}}$ 的障碍函数，构造 $p(x)$-Laplacian 的下解。
• 通过与障碍函数的比较应用强极大值原理，证明若非负解在某内点处为零，则其必恒为零。
• 采用尺度变换将问题约化至固定圆环区域，并对障碍函数的 $p(x)$-Laplacian 进行逐点估计。
• 导出 $\mu^{-1}e^{\mu|x|^2}M^{-1}|\nabla w|^{2-p(x)}\Delta_{p(x)}w$ 的下界，以确保 $w$ 的 $p(x)$-Laplacian 在环形区域中非正。
• 通过将解 $u$ 与障碍 $w$ 比较，利用 $u \geq w$ 且 $u(y) = 0$ 蕴含 $|\nabla u(y)| > 0$ 的事实，导出解在正性集边界处不满足 $C^1$ 正则性的矛盾，从而建立 Harnack 不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $f \in L^{q_0}(\Omega)$ 且满足 $\max\{1, N/p_{\min}\} < q_0 \leq \infty$ 时，是否可为非齐次 $p(x)$-Laplacian 方程的非负弱解建立 Harnack 不等式？
• RQ2 在变指数情形下，Harnack 常数对解的最优依赖关系为何？是否可表示为 $\|u^{p(x)}\|_{L^1(\Omega)}^{p_{\max}-p_{\min}}$ 的形式？
• RQ3 在 $p(x)$ 具有对数 Hölder 连续性时，$p(x)$-Laplacian 方程是否满足强极大值原理？能否通过障碍法证明？
• RQ4 当右端项属于变指数 Lebesgue 空间 $L^{q_0(x)}(\Omega)$ 且满足 $q_0(x) > \max\{1, N/p(x)\}$ 时，是否可建立 $p(x)$-型方程弱解的局部有界性和 Hölder 连续性？
• RQ5 在标准结构条件下，结果是否可推广至一般散度型方程 $\mathrm{div}\,A(x,u,\nabla u) = B(x,u,\nabla u)$，其具有 $p(x)$-型增长？

主要发现

• 为满足 $f \in L^{q_0}(\Omega)$ 且 $\max\{1, N/p_{\min}\} < q_0 \leq \infty$ 的 $\Delta_{p(x)}u = f$ 的非负弱解建立了 Harnack 不等式，其中常数仅依赖于 $\|u^{p(x)}\|_{L^1(\Omega)}^{p_{\max}-p_{\min}}$。
• Harnack 常数对解的依赖关系是精确的，无法消除，已有反例证明。
• 在 $p(x)$ 具有对数 Hölder 连续性时，当 $f \in L^{q_0(x)}(\Omega)$ 且满足 $q_0(x) > \max\{1, N/p(x)\}$ 于 $\Omega$，证明了解的局部有界性和 Hölder 连续性。
• 强极大值原理成立：若 $u \geq 0$ 且在连通区域 $\Omega$ 内满足 $\Delta_{p(x)}u \leq 0$，则要么 $u \equiv 0$，要么 $u > 0$ 在 $\Omega$ 内成立，前提是 $p(x)$ 满足 Lipschitz 连续性。
• 构造了一个障碍函数，其在环形区域中满足 $\Delta_{p(x)}w \geq 0$，外边界处 $w = 0$，内边界处 $w = A$，从而支持比较论证。
• 强极大值原理的证明依赖于反证法：若 $u$ 在某内点处为零且 $\nabla u(y) = 0$，但障碍函数满足 $|\nabla w(y)| > 0$，则产生矛盾，表明 $u$ 不能在内点处为零，除非其恒为零。