[论文解读] Local cohomology and support for triangulated categories

Dave Benson, Srikanth B. Iyengar+1 more|ArXiv.org|Feb 21, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文提出了一种统一框架，通过相对于一个中心的分次诺特环的局部上同调函子，定义紧生成三角范畴中的支集。该框架对三角支集进行了公理化表征，恢复并改进了交换环、完全交截和群表示的现有理论，同时表明在缺乏有限性条件时，三角支集与上同调支集可能不同。

ABSTRACT

We propose a new method for defining a notion of support for objects in any compactly generated triangulated category admitting small coproducts. This approach is based on a construction of local cohomology functors on triangulated categories, with respect to a central ring of operators. Suitably specialized one recovers, for example, the theory for commutative noetherian rings due to Foxby and Neeman, the theory of Avramov and Buchweitz for complete intersection local rings, and varieties for representations of finite groups according to Benson, Carlson, and Rickard. We give explicit examples of objects whose triangulated support and cohomological support differ. In the case of group representations, this allows us to correct and establish a conjecture of Benson.

研究动机与目标

• 为具有小共积的紧生成三角范畴中的对象发展一个通用的支集概念。
• 在单一框架下统一现有支集理论——例如诺特交换环、完全交截局部环和有限群表示的支集理论。
• 阐明三角支集与上同调支集之间的关系，特别是在上同调模不满足有限性条件时的情形。
• 在三角范畴上建立相对于中心算子环的局部上同调理论，从而实现对对象的几何分析。
• 通过区分三角支集与上同调支集，纠正并确认群表示理论中的一个猜想。

提出的方法

• 定义一个具有小共积和紧生成性的三角范畴 T，并赋予一个分次诺特环 R 映射到其分次中心 Z(T)。
• 利用环 R 在 T 上构造局部上同调函子，推广格罗滕迪克对概形的局部上同调理论。
• 为 T 中的对象 X 引入支集赋值 supp_R(X)，满足四个公理：上同调比较、正交性、正合性与分离性。
• 利用支集的专属性闭包及紧生成元上的上同调的并集，将三角支集表达为紧生成元上同调的函数。
• 将该理论应用于具体情形：诺特交换环（Foxby-Neeman）、完全交截（Avramov-Buchweitz）和群表示（Benson-Carlson-Rickard）。
• 证明当上同调模关于 R 是有限生成时，三角支集 supp_R(X) 等于上同调支集 supp_R(H*(X))；否则二者可能不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于中心算子环，在所有具有小共积的紧生成三角范畴中定义统一的支集理论？
• RQ2 当上同调模关于 R 不是有限生成时，三角支集与上同调支集之间有何关系？
• RQ3 所提出的支集理论是否能恢复并改进诺特交换环、完全交截和群表示的现有支集理论？
• RQ4 该理论能否纠正并验证群表示理论中关于支集簇的猜想？
• RQ5 局部上同调函子在组织三角范畴中对象的支集结构方面起什么作用？

主要发现

• 存在唯一的支集赋值 supp_R(X)，满足四个公理：上同调比较、正交性、正合性与分离性。
• 当对象关于 R 的上同调模是有限生成时，三角支集 supp_R(X) 等于上同调支集 supp_R(H*(X))。
• 显式例子表明，当上同调模关于 R 不是有限生成时，三角支集与上同调支集可能不同。
• 在完全交截环上，复形的支集是经典支集的改进，其纤维编码了在每个素理想处的局部支集。
• 该理论给出了完全交截环上复形支集簇的连通性定理，恢复了 Bergh 的结果。
• 该框架通过证明三角支集通过紧生成元检测上同调数据，纠正并确立了群表示理论中的一个猜想。