[论文解读] Local Cohomology of bigraded Rees algebras, Bhattacharya Coefficients and Joint Reductions

Clare D’Cruz, Shreedevi K. Masuti|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文研究了在二维柯学生-莫克勒局部环中，关于 $<em><strong>\mathfrak{m}$-primary理想 的双齐次Rees代数的局部上同调模的有限性。通过使用Bhattacharya系数和Hilbert系数，本文建立了 $H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)$ 的分次分量具有有限长度的等价条件，证明了 $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(0,0)}$ 具有有限长度当且仅当 $e_{(1,0)} = e_1(I)$ 且 $e_{(0,1)} = e_1(J)$。

ABSTRACT

Let $(R,\mathfrak{m})$ be a Cohen-Macaulay local ring of dimension $2$, $I$ and $J$ $\mathfrak{m}-$primary ideals in $R$ and $(a,b)$ a joint reduction of $(I,J)$. In this paper we consider the problem whether $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal R^\prime)]_{(r,s)}$ has finite length as an $R-$module, where $\mathcal R^\prime$ denotes the bigraded extended Rees algebra of $I$ and $J$. We give an example to show that the answer is negative in general. For all $r,s \geq 0, $ we give equivalent conditions for $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal R^\prime)]_{(r,s)}$ to have finite length in terms of the first Bhattacharya coefficients $e_{(1,0)}$ and $e_{(0,1)}$ and the first Hilbert coefficient $e_1(I)$ and $e_1(J)$. Here $(a,b)$ is a joint reduction of $(I,J)$ satisfying superficial conditions. As a consequence we prove that $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal R^\prime)]_{(0,0)}$ has finite length if and only if $e_{(1,0)}= e_1(I)$ and $e_{(0,1)}=e_1(J)$. We give necessary and sufficient conditions for vanishing of $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ in terms of Bhattacharya coefficients and Hilbert coefficients.

研究动机与目标

• 确定第二局部上同调模 $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ 作为 $R$-模具有有限长度的条件。
• 分析 $(a,b)$ 作为 $(I,J)$ 的联合约化在控制这些上同调分量有限性中的作用。
• 将 $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ 的有限性与第一Bhattacharya系数 $e_{(1,0)}$、$e_{(0,1)}$ 以及第一Hilbert系数 $e_1(I)$、$e_1(J)$ 联系起来。
• 提供 $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ 消去的必要与充分条件，这些条件以这些系数表示。

提出的方法

• 使用理想 $I$ 和 $J$ 的双齐次扩展Rees代数 $\mathcal{R}^\prime$，在多重分次设定下研究局部上同调。
• 将局部上同调理论应用于 $\mathcal{R}^\prime$ 中的理想 $(at_1, bt_2)$，重点关注第二上同调模。
• 利用Rees代数的结构，分析 $r,s \geq 0$ 时的分次分量 $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$。
• 采用Bhattacharya系数 $e_{(1,0)}$、$e_{(0,1)}$ 和Hilbert系数 $e_1(I)$、$e_1(J)$ 作为不变量，以刻画有限性。
• 使用满足正则条件的联合约化 $(a,b)$，以简化局部上同调模的分析。
• 建立 $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ 有限性与Bhattacharya系数和Hilbert系数特定等式之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $r,s \geq 0$ 时，$[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ 作为 $R$-模具有有限长度的条件是什么？
• RQ2 $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(0,0)}$ 何时具有有限长度，这与Hilbert系数和Bhattacharya系数有何关联？
• RQ3 第一Bhattacharya系数 $e_{(1,0)}$、$e_{(0,1)}$ 与第一Hilbert系数 $e_1(I)$、$e_1(J)$ 之间在决定局部上同调分量有限性方面的确切关系是什么？
• RQ4 以系数 $e_{(1,0)}$、$e_{(0,1)}$、$e_1(I)$ 和 $e_1(J)$ 表示的 $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ 消去的必要与充分条件是什么？
• RQ5 是否对所有联合约化 $(a,b)$，$[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ 的有限性都成立，还是需要额外约束？

主要发现

• $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(0,0)}$ 具有有限长度当且仅当 $e_{(1,0)} = e_1(I)$ 且 $e_{(0,1)} = e_1(J)$。
• 对于所有 $r,s \geq 0$，$[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ 的有限性等价于在 $(a,b)$ 是满足正则条件的联合约化这一假设下，涉及 $e_{(1,0)}$、$e_{(0,1)}$、$e_1(I)$ 和 $e_1(J)$ 的条件。
• 构造了一个例子，表明即使对于联合约化，$[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ 通常也不具有有限长度。
• $[H^2_{(at_1,bt_2)}(\mathcal{R}^\prime)]_{(r,s)}$ 的消去由Bhattacharya系数与Hilbert系数之间的特定关系所刻画。
• 结果建立了理想 $I$ 和 $J$ 的代数不变量与它们的双齐次Rees代数的上同调行为之间的精确联系。
• 本文以经典不变量为框架，完整刻画了局部上同调分量的有限性与消去性，拓展了关于联合约化与Hilbert函数理论的已知结果。