[论文解读] Local colourings and monochromatic partitions in complete bipartite graphs

Richard Lang, Maya Stein|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 27被引用 4

一句话总结

该论文证明，在任意 r-局部着色的完全二部图 $K_{n,n}$ 中，顶点集可被至多 $4r^2$ 个不相交的单色圈覆盖；对于 2-局部着色，可被至多 3 个不相交的单色路径覆盖。该研究改进了此前关于局部着色图中单色圈划分的界，并证实 2-局部着色的 $K_{n,n}$ 在路径划分性方面表现得如同 2-着色图。

ABSTRACT

We show that for any $2$-local colouring of the edges of the balanced complete bipartite graph $K_{n,n}$, its vertices can be covered with at most~$3$ disjoint monochromatic paths. And, we can cover almost all vertices of any complete or balanced complete bipartite $r$-locally coloured graph with $O(r^2)$ disjoint monochromatic cycles.\\ We also determine the $2$-local bipartite Ramsey number of a path almost exactly: Every $2$-local colouring of the edges of $K_{n,n}$ contains a monochromatic path on $n$ vertices.

研究动机与目标

• 确定覆盖 r-局部着色完全二部图 $K_{n,n}$ 顶点集所需的最少不相交单色圈数量。
• 将关于单色路径与圈划分的结果从 r-着色推广至 r-局部着色，其中每个顶点至多有 r 种不同的关联颜色。
• 通过证明每个 2-局部着色的 $K_{n,n}$ 都包含一个长度为 $n$ 的单色路径，解决 2-局部二部图拉姆齐数中关于路径的问题。
• 探究 r-局部着色图中所需单色圈数量是否如猜想所示与 r 线性相关。
• 将 Pokrovskiy 的定理 1.1（关于 $K_{n,n}$ 的 2-着色）推广至 r-局部着色，证明对于 2-局部着色，3 个单色路径已足够。

提出的方法

• 基于颜色交集的结构分解：分析单色子图 $C_i$（颜色 $i$）之间交集 $C_i \cap C_j$ 的大小。
• 通过交集集合之间的完全二部边应用路径拼接技术，构造更长的单色路径或圈。
• 运用极值论证与分类讨论，证明若不存在长度为 $2m$ 的单色路径，则某些交集集合必须很小。
• 利用对称性与划分类（上下）的交换，规范化配置并简化不等式。
• 利用关于交集区域连通性与边着色的断言，当假设存在过多小交集时导出矛盾。
• 反证法：假设存在一个长单色路径，推导出某些交集必须很大，从而违反先前假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意 r-局部着色的 $K_{n,n}$ 中，覆盖顶点集所需的最少不相交单色圈数量是多少？
• RQ2 r-局部着色完全图中单色圈划分的界能否从 $O(r^2 \log r)$ 改进为 $O(r^2)$？
• RQ3 每个 2-局部着色的 $K_{n,n}$ 是否总能被划分为至多 3 条不相交的单色路径，无论使用多少种颜色？
• RQ4 r-局部着色的 $K_{n,n}$ 中所需单色圈数量是否如猜想所示与 r 线性相关？
• RQ5 在单色路径与圈划分性方面，局部着色与标准的 r-着色相比有何异同？

主要发现

• 对于任意 r-局部着色的 $K_{n,n}$，顶点集可被至多 $4r^2$ 个不相交的单色圈覆盖，优于此前的 $O(r^2 \log r)$ 界。
• 对于 $K_{n,n}$ 的 2-局部着色，顶点集可被划分为至多 3 个不相交的单色路径，与 2-着色情况一致。
• 2-局部二部图拉姆齐数中关于长度为 $n$ 的路径几乎被完全确定：每个 2-局部着色的 $K_{n,n}$ 都包含一个长度为 $n$ 的单色路径。
• 在 r-局部着色的 $K_n$ 中，顶点集可被至多 $2r^2$ 个不相交的单色圈覆盖，将先前结果推广至局部着色。
• 该论文表明，任何 r-局部着色的 $K_{n,n}$ 所需的单色路径数不超过 $2r-1$，暗示存在紧致界。
• 作者否定了 r-局部着色中需要超过 $2r-1$ 条路径的可能性，支持了路径划分数与 r 线性相关的猜想。