[论文解读] Local Computation Algorithms for (Minimum) Spanning Trees on Expander Graphs

Pan Peng, Wang, Yuyang|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2026

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 0

一句话总结

该论文为扩展图上的生成树和最小生成树设计了局部计算算法（LCAs），在探测复杂度方面实现子线性，并在 Erdős-Rényi 图上取得均值性能提升。

ABSTRACT

We study \emph{local computation algorithms (LCAs)} for constructing spanning trees. In this setting, the goal is to locally determine, for each edge $ e \in E $, whether it belongs to a spanning tree $ T $ of the input graph $ G $, where $ T $ is defined implicitly by $ G $ and the randomness of the algorithm. It is known that LCAs for spanning trees do not exist in general graphs, even for simple graph families. We identify a natural and well-studied class of graphs -- \emph{expander graphs} -- that do admit \emph{sublinear-time} LCAs for spanning trees. This is perhaps surprising, as previous work on expanders only succeeded in designing LCAs for \emph{sparse spanning subgraphs}, rather than full spanning trees. We design an LCA with probe complexity $ O\left(\sqrt{n}\left(\frac{\log^2 n}{ϕ^2} + d ight) ight)$ for graphs with conductance at least $ ϕ$ and maximum degree at most $ d $ (not necessarily constant), which is nearly optimal when $ϕ$ and $d$ are constants, since $Ω(\sqrt{n})$ probes are necessary even for expanders. Next, we show that for the natural class of \emph{\ER graphs} $ G(n, p) $ with $ np = n^δ $ for any constant $ δ> 0 $ (which are expanders with high probability), the $ \sqrt{n} $ lower bound can be bypassed. Specifically, we give an \emph{average-case} LCA for such graphs with probe complexity $ ilde{O}(\sqrt{n^{1 - δ}})$. Finally, we extend our techniques to design LCAs for the \emph{minimum spanning tree (MST)} problem on weighted expander graphs. Specifically, given a $d$-regular unweighted graph $\bar{G}$ with sufficiently strong expansion, we consider the weighted graph $G$ obtained by assigning to each edge an independent and uniform random weight from $\{1,\ldots,W\}$, where $W = O(d)$. We show that there exists an LCA that is consistent with an exact MST of $G$, with probe complexity $ ilde{O}(\sqrt{n}d^2)$.

研究动机与目标

• 为集中式局部模型下的生成树和最小生成树建立并引入 LCAs 的动机与定义。
• 证明存在对扩展图具有可证明保证的子线性探测 LCAs。
• 对于 G(n,p) 的生成树开发平均情形的 LCAs，并将技术扩展到带权扩展图上的 MST。
• 分析探测复杂度、导管性（导出性/导音）与度数在生成结构中的权衡。
• 提供对随机图模型中 LCAs 能力与限制的见解。

提出的方法

• 提出一个 LCA，用以回答对生成树边所属性查询的探测复杂度为 O(√n)(log^2 n/φ^2 + d) 的边界分布在 d-有界的扩展图中，导出导管性 φ。
• 构建一个采用惰性随机行走、核心树、锚点连接并采用字典序时间对比的三阶段全局生成树算法。
• 扩展到 Erdős-Rényi 图 G(n,p)，当 np = n^δ 时得到一个平均情形的 LCA，其探测复杂度为 ŋ~O(√(n^{1−δ})).
• 将技巧改造以在带权扩展图且边权在 {1,...,W}（W = O(d)）的随机权重情形下，得到精确的 MST 的探测复杂度 ŋ~O(√n d^2).
• 在带权扩展图的 MST 构造中使用基于权重的 Kruskal 向层分层次的方法，辅以无权生成树作为参考，以及基于秩的选择以维持一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 LCAs 是否能够在扩展图中以子线性探测实现（最小）生成树？
• RQ2 在扩展图上生 成树的探测复杂度受导管性 φ 与度 d 的影响及其上限为何？
• RQ3 平均情形的 LCAs 是否在 Erdős-Rényi 图 G(n,p) 上优于最坏情形下的下界？
• RQ4 是否存在在带权扩展图上对带随机边权的情形给出精确 MST 的 LCA，以及其探测复杂度？
• RQ5 字典序的时间对比与锚点结构如何影响 LCA 的局部性与一致性？

主要发现

• 存在一个探测复杂度为 O(√n( log^2 n/φ^2 + d )) 的 LCA，可以回答对 d-边界图且导管性至少为 φ 的生成树的边所属性查询，树深度为 O(log n/φ^2)。
• 对于 np = n^δ 的 G(n,p)（δ>0），存在一个对生成树的平均情形 LCA，探测复杂度为 ŋ~O(√(n^{1−δ})).
• 随着 δ 增大到 1，探测复杂度趋于多对数次幂或常数，显示在稠密图上的性能较扩展图的最坏情况有所提升。
• 存在一个针对带权扩展图上精确 MST 的 LCA，权重取 {1,…,W}（W = O(d)），探测复杂度 ŋ~O(√n d^2).
• MST 构造采用按权重分层的 Kruskal 风格方法，辅以一个无权生成树作为参考以及基于秩的选择以维持一致性。