[论文解读] Local Conflict Coloring Revisited: Linial for Lists

Yannic Maus, Tigran Tonoyan|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 44被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种针对最大出度为 β 的有向图中缺陷列表着色的两轮 LOCAL 模型算法，其中每个节点从大小为 Ω(β²(log β + log log m + log log |C|)) 的列表中选择颜色，与之前的工作相比显著减少了消息大小。该结果将 Linial 的颜色缩减推广至列表着色，并将 (deg+1)-列表着色的运行时间提升至 O(√∆log ∆) + log∗n，同时降低了通信复杂度。

ABSTRACT

Linial's famous color reduction algorithm reduces a given $m$-coloring of a graph with maximum degree $Δ$ to a $O(Δ^2\log m)$-coloring, in a single round in the LOCAL model. We show a similar result when nodes are restricted to choose their color from a list of allowed colors: given an $m$-coloring in a directed graph of maximum outdegree $β$, if every node has a list of size $Ω(β^2 (\log β+\log\log m + \log \log |\mathcal{C}|))$ from a color space $\mathcal{C}$ then they can select a color in two rounds in the LOCAL model. Moreover, the communication of a node essentially consists of sending its list to the neighbors. This is obtained as part of a framework that also contains Linial's color reduction (with an alternative proof) as a special case. Our result also leads to a defective list coloring algorithm. As a corollary, we improve the state-of-the-art truly local $(deg+1)$-list coloring algorithm from Barenboim et al. [PODC'18] by slightly reducing the runtime to $O(\sqrt{Δ\logΔ})+\log^* n$ and significantly reducing the message size (from huge to roughly $Δ$). Our techniques are inspired by the local conflict coloring framework of Fraigniaud et al. [FOCS'16].

研究动机与目标

• 开发一种真正局部的列表着色算法，适用于 LOCAL 模型，以减少消息大小和运行时间。
• 将 Linial 的颜色缩减推广至列表着色设置，其中节点必须从受限的颜色列表中选择。
• 通过减少运行时间和通信复杂度，改进当前最先进的 (deg+1)-列表着色算法。
• 提供一个统一框架，通过冲突着色和机械问题变换，将 Linial 的颜色缩减与列表着色相结合。

提出的方法

• 将 Fraigniaud 等人提出的局部冲突着色框架适配至处理有向图中的列表约束。
• 提出一种两轮算法，节点利用其本地列表和邻居信息来解决冲突。
• 采用问题实例（P0, P1, P2）的机械变换，以模拟单轮缩减，从而实现高效的通信传递。
• 使用集合系统和概率分析，界定在缺陷约束下成功着色所需列表大小的上界。
• 用 β²(log β + log log m + log log |C|) 的列表大小替代先前算法中的 ∆-依赖性，其中 β 为最大出度。
• 将该框架应用于推导出一种 (deg+1)-列表着色算法，其运行时间为 O(√∆log ∆) + log∗n，消息大小为 O(∆)，优于先前工作。

实验结果

研究问题

• RQ1 Linial 的颜色缩减能否扩展至列表着色设置，即节点必须从受限颜色列表中选择？
• RQ2 在出度有界为 β 的图中，两轮缺陷列表着色所需的最小列表大小是多少？
• RQ3 是否可以将真正局部列表着色中的消息大小从指数级降低至 ∆ 的多项式级别，同时保持亚线性运行时间？
• RQ4 是否可能在不使运行时间超过 o(√log β) 的前提下，消除列表大小要求中的 log β 因子？
• RQ5 能否利用机械问题变换来推导出 LOCAL 模型中高效的列表着色算法？

主要发现

• 针对最大出度为 β 的有向图，提出了一种两轮缺陷列表着色算法，其列表大小为 Ω(β²(log β + log log m + log log |C|))，可实现有效着色。
• 该算法将每节点的消息大小从巨大的（指数级于 ∆）降低至 O(∆)，显著提升了通信效率。
• 该框架推广了 Linial 的 O(∆²)-着色缩减，并可作为其特例提供替代证明。
• 改进后的 (deg+1)-列表着色算法在 O(√∆log ∆) + log∗n 轮内运行，消息大小为 O(∆)，在运行时间和通信方面均优于先前工作。
• 列表大小要求与 ∆ 无关，仅依赖于 β，因此即使在最大度较大的图中也能实现高效着色。
• 结果表明，列表大小中的 log β 项可能是可去除的，尽管这仍是开放问题。