[论文解读] Local Convergence of Adaptive Methods for Nonlinear Partial Differential Equations

Michael Holst, Gantumur Tsogtgerel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2010

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 66被引用 18

一句话总结

本文通过引入两个抽象框架，建立了适用于非线性椭圆PDE的自适应有限元方法（AFEM）的收敛性理论：一是针对具有局部Lipschitz Gateaux导数和局部inf-sup条件的非线性算子的弱-*收敛方法；二是将线性收敛结果推广至非线性问题的强收缩框架。主要贡献在于证明了在若干重要非线性情形下AFEM的收敛性与收缩性，包括半线性方程、Navier-Stokes方程以及广义相对论中的哈密顿约束方程。

ABSTRACT

In this article we develop convergence theory for a general class of adaptive approximation algorithms for abstract nonlinear operator equations on Banach spaces, and use the theory to obtain convergence results for practical adaptive finite element methods (AFEM) applied to several classes of nonlinear elliptic equations. In the first part of the paper, we develop a weak-* convergence framework for nonlinear operators, whose Gateaux derivatives are locally Lipschitz and satisfy a local inf-sup condition. The framework can be viewed as extending the recent convergence results for linear problems of Morin, Siebert and Veeser to a general nonlinear setting. We formulate an abstract adaptive approximation algorithm for nonlinear operator equations in Banach spaces with local structure. The weak-* convergence framework is then applied to this class of abstract locally adaptive algorithms, giving a general convergence result. The convergence result is then applied to a standard AFEM algorithm in the case of several semilinear and quasi-linear scalar elliptic equations and elliptic systems, including: a semilinear problem with subcritical nonlinearity, the steady Navier-Stokes equations, and a quasilinear problem with nonlinear diffusion. This yields several new AFEM convergence results for these nonlinear problems. In the second part of the paper we develop a second abstract convergence framework based on strong contraction, extending the recent contraction results for linear problems of Cascon, Kreuzer, Nochetto, and Siebert and of Mekchay and Nochetto to abstract nonlinear problems. The contraction result is then applied to a standard AFEM algorithm for semilinear problems with sub- and super-critical nonlinearities and for the Hamiltonian constraint in general relativity.

研究动机与目标

• 为巴拿赫空间中非线性算子方程的自适应逼近算法建立一般收敛性理论。
• 通过弱-*收敛框架，将Morin、Siebert与Veeser的线性收敛结果推广至一般非线性情形。
• 为非线性问题建立基于收缩的收敛性框架，推广Cascon、Kreuzer、Nochetto与Siebert的结果。
• 将两种框架应用于半线性与拟线性椭圆方程的实用AFEM算法。
• 证明AFEM在具有挑战性的非线性问题中的收敛性与收缩性，包括泊松-玻尔兹曼方程与广义相对论中的哈密顿约束方程。

提出的方法

• 在具有局部结构的巴拿赫空间中，基于SOLVE-ESTIMATE-MARK-REFINE循环，制定一种抽象自适应算法。
• 提出依赖于局部Lipschitz Gateaux导数与局部inf-sup条件的弱-*收敛框架，适用于非线性算子。
• 将弱-*框架应用于推导AFEM在半线性与拟线性椭圆问题中的通用收敛结果。
• 引入第二个基于强收缩的抽象框架，要求满足拟正交性与每步误差减少条件。
• 建立收缩框架适用于抽象自适应算法的条件，确保非线性问题的收敛性。
• 将两种框架应用于具体PDE，包括具有次临界非线性的半线性问题、Navier-Stokes方程、泊松-玻尔兹曼方程与哈密顿约束方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在超越线性情形的广义非线性椭圆PDE类中建立自适应有限元方法的收敛性？
• RQ2 在何种非线性算子条件（如Gateaux导数、inf-sup条件）下，弱-*收敛框架可确保自适应算法的收敛性？
• RQ3 能否将线性问题的基于收缩的收敛理论推广至具有局部Lipschitz性质的非线性问题？
• RQ4 在非线性情形下，AFEM收缩所需的结构性质（如拟正交性、局部Lipschitz连续性）的必要与充分条件是什么？
• RQ5 所提出的框架是否能为重要非线性PDE（如广义相对论中的哈密顿约束方程）提供新的收敛性与收缩性结果？

主要发现

• 弱-*收敛框架成功地将线性问题的收敛结果推广至具有局部Lipschitz Gateaux导数与局部inf-sup条件的广泛非线性算子类。
• 证明了AFEM在具有次临界非线性的半线性问题、稳态Navier-Stokes方程以及一般拟线性扩散问题中的收敛性。
• 在满足局部拟正交性与每步误差减少等条件下，建立了抽象非线性自适应算法的收缩框架。
• 证明了泊松-玻尔兹曼方程与广义相对论中哈密顿约束方程的AFEM收缩性，为这些非线性情形提供了新的收敛结果。
• 该理论消除了人为假设（如内部节点性质与数据振荡的额外标记），优于早期的线性收敛结果。
• 该框架确保收敛性，无需初始网格分辨率或额外的标记步骤，仅依赖于先验的$L^∞$有界性与非线性项的局部Lipschitz控制。