[论文解读] Local convergence of critical random trees and continuous-state branching processes

Xin He|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文建立了一般框架，用于研究在各种条件化下临界随机树（Galton-Watson 树、Lévy 树及连续状态分支过程）的局部收敛性，表明其收敛于不死树或凝聚树。在高度、宽度或总质量等泛函满足单调性条件时，条件化的临界树局部收敛于具有无限脊干的大小加权树（即不死树），并为满足该条件的泛函推导出一般比率极限性质。

ABSTRACT

We study the local convergence of critical Galton-Watson trees and Levy trees under various conditionings. Assuming a very general monotonicity property on the functional of random trees, we show that random trees conditioned to have large functional values always converge locally to immortal trees. We also derive a very general ratio limit property for functionals of random trees satisfying the monotonicity property. Then we move on to study the local convergence of critical continuous-state branching processes, and prove a similar result. Finally we give a definition of continuum condensation trees, which should be the correct local limits for certain subcritical Levy trees under suitable conditionings.

研究动机与目标

• 建立临界 Galton-Watson 树在多种条件化（如大高度、大宽度或最大度）下的广义局部收敛理论。
• 将局部收敛框架扩展至 Lévy 树和连续状态分支过程（CB 过程），证明在相同单调性条件下收敛于连续型不死树。
• 提出并定义连续型凝聚树，作为亚临界 Lévy 树在大最大度或总质量条件化下的候选局部极限。
• 提出并论证关于亚临界 Lévy 树在大总质量和大最大度条件化下局部收敛于连续型凝聚树的两个猜想。
• 识别一个开放问题：亚临界树在大宽度条件化下的局部极限尚未解决。

提出的方法

• 引入随机树泛函的一般单调性性质，确保对大泛函值的条件化可导致局部收敛于不死树。
• 采用一种基于临界性和脊干分解的新方法，与先前框架不同，证明了 Galton-Watson 树（定理 2.1）和 Lévy 树（定理 4.1）的局部收敛性。
• 为满足单调性条件的泛函推导出一般比率极限性质（定理 2.7 和定理 4.5），适用于宽度、总质量及最大度。
• 将证明方法推广至连续状态分支过程（CB 过程），表明在相同单调性条件下收敛于带移民的 CBI 过程（定理 4.7）。
• 通过桥接测度和桥接局部时间定义连续型凝聚树，灵感来源于亚临界分支过程中的凝聚现象。
• 利用桥接理论及桥接测度 $\mathbf{N}$ 下的典范过程，刻画在大跳跃或大质量条件化下高度过程的极限行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种一般条件下，临界 Galton-Watson 树在大泛函值条件化下会局部收敛于不死树？
• RQ2 该收敛结果是否可扩展至 Lévy 树和连续状态分支过程，且在相同单调性条件下成立？
• RQ3 亚临界 Lévy 树在大最大度或大总质量条件化下的正确极限对象是什么？
• RQ4 亚临界 Galton-Watson 树在大宽度条件化下的局部极限是不死树还是凝聚树？
• RQ5 连续型凝聚树是否作为 Lévy 树在大最大度或大总质量条件化下的弱极限出现？

主要发现

• 在泛函满足一般单调性条件时，临界 Galton-Watson 树在大泛函值（如高度、宽度、最大度）条件化下，局部收敛于不死树（定理 2.1）。
• 为满足单调性条件的 Galton-Watson 树泛函建立了广义比率极限性质，宽度情形有明确结果（命题 2.8）。
• 在相同单调性条件下，临界 Lévy 树在大泛函值（如宽度、总质量、最大度）条件化下，局部收敛于连续型不死树（定理 4.1）。
• 在相同条件下，为 Lévy 树推导出广义比率极限性质，结果可推广至连续状态过程（定理 4.5）。
• 在单调性条件下，临界连续状态分支过程（CB 过程）在大泛函值条件化下，局部收敛于带移民的 CBI 过程（定理 4.7）。
• 提出两个猜想：在大最大度或大总质量条件化下，Lévy 树弱收敛于连续型凝聚树（猜想 5.1 和 5.2），但证明仍待解决。