[论文解读] Local convexity in CAT(\kappa)-spaces

Kai‐Uwe Bux, Stefan Witzel|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文在较弱条件下证明了在完备的 CAT(κ)-空间中，局部凸性蕴含整体凸性，推广了欧氏空间中 Tietze 的经典结果。主要贡献在于为 CAT(0) 空间及局部紧致的 CAT(κ) 空间中的闭连通子集建立了凸性判别准则，并将其应用于通过墙上的弱法向条件构造欧氏建筑物中的凸集。

ABSTRACT

Heinrich Tietze has shown that for a closed connected subset of euclidean space being convex is a local property. We generalize this to CAT(0)-spaces and locally compact CAT(\\kappa) spaces. As an application we give a construction of certain convex sets in euclidean buildings.

研究动机与目标

• 将欧氏空间中 Tietze 的局部到整体凸性定理推广至 CAT(0) 空间和局部紧致的 CAT(κ) 空间。
• 建立在 CAT(κ)-空间中，闭的局部凸子集为整体凸集的充分条件。
• 通过墙上的弱法向条件，为欧氏建筑物中的凸性提供一种新判别准则。
• 提供一种不依赖于主要凸性判别准则的、关于欧氏建筑物中收缩映射的原像凸性的替代证明。

提出的方法

• 利用 CAT(κ)-空间中，长度不超过 Dκ 的路径是测地线当且仅当它是局部测地线这一事实。
• 应用 Hopf–Rinow 定理，以确保完备且局部紧致的长度空间中存在最短路径。
• 将局部凸性定义为：对闭子集 A 中的每一点 x，存在一个邻域，使得 A ∩ B(x,ε) 在 B(x,ε) 中是凸的。
• 引入弱法向条件：对每个边界点 a ∈ ∂A 及包含 a 的墙 H，存在一个在 a 处指向不包含固定胞腔 C 的半空间的法向量。
• 利用欧氏建筑物中到某个胞射 Σ 的收缩映射 ρΣ,C: X → Σ，将 Σ 中的凸集拉回到 X。
• 通过研究路径在收缩映射下的像，分析 X 中的测地线，特别关注其是否相对于 A 的距离为“上升”型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，CAT(κ)-空间中的局部凸性蕴含整体凸性？
• RQ2 当 κ > 0 时，局部到整体凸性结果是否需要直径限制？
• RQ3 主定理中的局部紧致性假设能否被移除？
• RQ4 何种几何条件可确保建筑物收缩映射下凸集的原像是凸的？
• RQ5 如何利用局部几何数据刻画欧氏建筑物的凸子集？

主要发现

• 在完备的 CAT(0)-空间中，闭连通的局部凸子集是整体凸的。
• 对于 κ > 0 的局部紧致 CAT(κ)-空间，若闭连通的局部凸子集在长度度量下的直径不超过 Dκ = π/√κ，则其为 Dκ-凸的。
• 当 κ > 0 时，直径条件是必要的，反例已证明。
• 在欧氏考克斯特复形中，闭凸子集 A 满足弱法向条件，即对每个边界点 a ∈ ∂A 及包含 a 的墙 H，存在一个在 a 处指向不包含固定胞腔 C 的半空间的法向量。
• 若 A ⊆ Σ 满足弱法向条件且 A ∩ C ≠ ∅，则原像 ρΣ,C⁻¹(A) 在欧氏建筑物 X 中是凸的。
• 弱法向条件在 ε-平行集下保持不变：若 A 满足弱法向条件，则 A+ε 也满足。