[论文解读] Local correlation entropy

Vladimı́r Špitalský|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2016

Neural dynamics and brain function被引用 1

一句话总结

本文研究了动力系统中的局部相关性熵，证明了在拓扑图上，局部相关性熵的上确界等于拓扑熵。此外，本文构造了一个具有正拓扑熵但所有点的局部相关性熵为零的严格遍历子移位，揭示了在某些系统中，这两种测度之间存在根本性的脱节。

ABSTRACT

Local correlation entropy, introduced by Takens in 1983, represents the exponential decay rate of the relative frequency of recurrences in the trajectory of a point, as the embedding dimension grows to infinity. In this paper we study relationship between the supremum of local correlation entropies and the topological entropy. For dynamical systems on graphs we prove that the two quantities coincide. Moreover, there is an uncountable set of points with local correlation entropy arbitrarily close to the topological entropy. On the other hand, we construct a strictly ergodic subshift with positive topological entropy having all local correlation entropies equal to zero. As a necessary tool, we derive an expected relationship between the local correlation entropies of a system and those of its iterates.

研究动机与目标

• 建立动力系统中局部相关性熵与拓扑熵之间的关系。
• 研究在拓扑图上的系统中，局部相关性熵的上确界是否等于拓扑熵。
• 构造一个反例，表明正拓扑熵并不意味着正局部相关性熵。
• 推导并证明系统映射迭代下局部相关性熵的标度行为。

提出的方法

• 将局部相关性熵定义为轨迹段在嵌入维数增加时，重复频率的指数衰减率。
• 使用相关和 $ C^f_m(x, n, \varepsilon) $ 及其上极限/下极限，定义上、下局部相关性熵。
• 应用一个组合引理，将 $ f $ 的相关和与它的迭代 $ f^k $ 的相关和联系起来，证明 $ \bar{h}_{\text{cor}}(f^k, x) = k \cdot \bar{h}_{\text{cor}}(f, x) $。
• 通过递归词连接构造一个严格遍历子移位，使用参数 $ p \geq 3 $，定义 $ m_j, l_j, r_j $ 以控制词频。
• 证明拓扑熵 $ h_{\text{top}}(\sigma) = \lim_{j \to \infty} \lambda_j > 0 $，通过限制允许词的增长率。
• 证明唯一不变测度 $ \mu $ 满足 $ \tilde{\mu}(n) \geq c / n^\alpha $（对某个 $ \alpha $），从而得到 $ \lim_n (-1/n) \log \tilde{\mu}(n) = 0 $，因此 $ h_{\text{cor}}(\sigma, \mu) = 0 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于拓扑图上的动力系统，局部相关性熵的上确界是否等于拓扑熵？
• RQ2 一个严格遍历系统是否可以具有正拓扑熵，但所有点的局部相关性熵为零？
• RQ3 系统映射迭代下，局部相关性熵如何标度？
• RQ4 符号动力学中词计数的增长率与由此产生的拓扑熵之间有何关系？

主要发现

• 对于拓扑图上的动力系统，局部相关性熵的上确界等于拓扑熵。
• 存在一个不可数的点集，其局部相关性熵可任意接近拓扑熵。
• 构造了一个具有正拓扑熵的严格遍历子移位，其中所有局部相关性熵恰好为零。
• 所构造子移位的拓扑熵为 $ h_{\text{top}}(\sigma) = \lim_{j \to \infty} \lambda_j > 0 $，其中 $ \lambda_j = \log m_j / l_j $，且 $ m_j, l_j $ 以递归方式定义。
• 唯一不变测度的相关熵为零，因为 $ \lim_{n \to \infty} (-1/n) \log \tilde{\mu}(n) = 0 $，这意味着 $ h_{\text{cor}}(\sigma, \mu) = 0 $。
• 该子移位中每个点的局部相关性熵均为零，证实了在此情况下，局部相关性熵无法检测到正拓扑熵。