[论文解读] Local correlations in dual-unitary kicked chains

Boris Gutkin, P. A. Braun+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2020

Quantum many-body systems参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文引入了一类基于复Hadamard矩阵的广义双酉受激链（DuKC），证明了在长链中严格局域的迹为零算符的关联函数为零。针对一个特殊子类（DFTC），推导出相邻位点算符两点关联函数的闭合解析表达式，实现了对双酉邻域附近局域关联的精确计算，如受激伊辛链所示。

ABSTRACT

We show that for dual-unitary kicked chains, built upon a pair of complex Hadamard matrices, correlators of strictly local, traceless operators vanish identically for sufficiently long chains. On the other hand, operators supported at pairs of adjacent chain sites, generically, exhibit nontrivial correlations along the light cone edges. In agreement with Bertini et. al. [Phys. Rev. Lett. 123, 210601 (2019)], they can be expressed through the expectation values of a transfer matrix $T$. Furthermore, we identify a remarkable family of dual-unitary models where an explicit information on the spectrum of $T$ is available. For this class of models we provide a closed analytical formula for the corresponding two-point correlators. This result, in turn, allows an evaluation of local correlators in the vicinity of the dual-unitary regime which is exemplified on the kicked Ising spin chain.

研究动机与目标

• 开发一种基于复Hadamard矩阵的广义双酉受激链（DuKC）框架，实现对量子关联的精确分析。
• 研究DuKC中局域算符关联的行为，特别是在热力学极限和双酉邻域附近。
• 识别出DuKC的一个子类——双傅里叶可变换链（DFTC），其转移矩阵谱可解析求解。
• 推导出DFTC模型中相邻位点算符两点关联函数的闭合表达式。
• 将结果推广至具有时空无序的空间非均匀系统，表明关联衰减指数由局域参数的平均值决定。

提出的方法

• 通过一对 $L \times L$ 复Hadamard矩阵构造DuKC，利用相位函数 $f_1$ 和 $f_2$ 定义局域酉门和相互作用项。
• 使用Floquet演化算符 $U = U_I U_K$，其中 $U_I$ 在乘积基下为对角形式，$U_K$ 为局域酉算符的张量积。
• 通过维度为 $L^2$ 且与链长 $N$ 无关的转移矩阵 $\mathbf{T}$ 的迹表达两点关联函数。
• 对于DFTC子类，利用同一酉变换对转移矩阵 $\mathbf{T}$ 进行对角化，实现精确谱分析。
• 基于 $\mathbf{T}$ 的本征值，推导出支持在两个相邻位点上的算符关联函数的解析公式。
• 将该形式化方法应用于受激伊辛链，通过微扰修正精确计算双酉邻域附近的局域关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在长DuKC链中，严格局域的迹为零算符是否表现出消失的关联？
• RQ2 DuKC中有限支撑算符的两点关联函数能否通过低维转移矩阵谱表达？
• RQ3 是否存在一个DuKC子类，其转移矩阵谱可解析已知，从而实现关联函数的闭合表达式？
• RQ4 在双酉邻域附近，局域关联行为如何，特别是在受激伊辛链等模型中？
• RQ5 时空无序对DuKC中关联衰减的影响是什么，它如何改变转移矩阵形式化？

主要发现

• 由于双酉结构，在足够长的DuKC链中，严格局域的迹为零算符的关联函数恒为零。
• 支持在相邻位点上的算符的两点关联函数通常非零，且可通过转移矩阵 $\mathbf{T}$ 的期望值表达。
• 对于DFTC子类，转移矩阵 $\mathbf{T}$ 可通过单一酉变换对角化，从而实现精确谱分析。
• 在DFTC类中，推导出相邻位点算符两点关联函数的闭合解析公式，其显式依赖于 $\mathbf{T}$ 的本征值。
• 在受激伊辛链的双酉邻域附近，局域关联函数衰减为 $C(n,T) \sim \delta(n,T) \prod_{i=1}^{n-2} \cos 2h_i$，其中 $h_i$ 为局域磁场。
• 在时空无序存在时，关联函数的衰减指数由局域指数的平均值给出，且 $\mathbf{T}^{n-2}$ 被替换为局域门算符的乘积。