[论文解读] Local Criteria for Quasirandomness and the Ultraproducts of Quasirandom Groups

Yilong Yang|arXiv (Cornell University)|May 24, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 13被引用 1

一句话总结

该论文证明，非交换有限单群的超积要么是有限单群，要么不承认任何非平凡的有限维酉表示。该结果被推广至拟随机群，证明在特定结构条件下，随着群的拟随机性增强，其超积趋于最小几乎周期性，研究中运用了群分类和长度函数等工具。

ABSTRACT

In this paper, we shall prove that an ultraproduct of non-abelian finite simple groups is either finite simple, or has no finite dimensional unitary representation other than the trivial one. Then we shall generalize this result for other kinds of quasirandom groups. A group is called D- quasirandom if all of its nontrivial representations over the complex numbers have dimensions at least D. We shall study the question of whether a non-principal ultraproduct of a given sequence of quasirandom groups remains quasirandom, and whether an ultraproduct of increasingly quasirandom groups becomes minimally almost periodic (i.e. no non-trivial finite-dimensional unitary representation at all). We answer this question in the affirmative when the groups in question are simple, quasisimple, semisimple, or when the groups in question have bounded number of conjugacy classes in their cosocles (the intersection of all maximal normal subgroups), or when the groups are arbitrary products (not necessarily finite) of the groups just listed. We shall also present with an ultraproduct of increasingly quasirandom groups with a non-trivial one-dimensional representation. We also obtain some results in the case of semi-direct products and short exact sequences of quasirandom groups. Finally, two applications of our results are given, one in triangle patterns of quasirandom groups and one in self-Bohrifying groups. Our main tools are some variations of the covering number for groups, different kinds of length functions on groups, and the classification of finite simple groups.

研究动机与目标

• 确定拟随机群超积在何种条件下保持拟随机性或变为最小几乎周期性。
• 分析有限单群、拟单群及半单群超积的表示论性质。
• 将结果扩展至其余从群的共轭类有界且其余从群的共轭类有界的群，以及此类群的任意乘积。
• 构造一个日益拟随机群的超积示例，其承认非平凡的一维表示。
• 探讨在拟随机设定下，半直积与短正合列的结构行为。

提出的方法

• 利用有限单群分类定理分析拟随机群超积的结构。
• 引入覆盖数概念的变体，以研究群的生成与表示界。
• 在群上使用不同类型的长度函数，以控制超积中的表示维数。
• 通过非主超滤子应用模型论技术，以构造和分析超积。
• 分析余从群（所有极大正规子群的交）以限制共轭类计数并控制表示论。
• 结合表示论约束与群论性质，推导出酉表示的极小性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，拟随机群的超积保持拟随机性？
• RQ2 日益拟随机群的超积能否变为最小几乎周期性（即不承认任何非平凡的有限维酉表示）？
• RQ3 诸如余从群中共轭类有界等结构性质如何影响超积的表示论？
• RQ4 在对拟随机群的半直积或短正合列取超积时，其酉表示理论会发生什么变化？
• RQ5 日益拟随机群的超积是否仍可能承认非平凡的一维表示？

主要发现

• 非交换有限单群的超积要么是有限单群，要么不承认任何非平凡的有限维酉表示。
• 若群是日益拟随机的，则其单群、拟单群或半单群的超积为最小几乎周期群。
• 若群在余从群中具有有界共轭类数，则其超积在拟随机性增强时为最小几乎周期群。
• 当拟随机性增强时，上述群类的任意乘积的超积也产生最小几乎周期群。
• 提供了日益拟随机群超积的显式构造，其承认非平凡的一维表示。
• 结果适用于拟随机群中的三角形模式以及自玻尔化群，提供了结构约束。