[论文解读] Local dimensions of measures on self-affine sets

K. J. Falconer, Jun Jie Miao|arXiv (Cornell University)|May 12, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文在一般条件下证明了自仿射测度和几乎自仿射测度是精确维数的，其局部维数几乎处处等于信息维数。局部维数被证明是超可加压强泛函的零点，结果通过在 $ q \nearrow 1 $ 时使用 $ L^q $-维数的上界以及积分估计的下界推导得出，该方法可推广至符号空间上的吉布斯测度。

ABSTRACT

We show that, in a generic setting, self-affine and almost self-affine measures are exact dimensional, with local dimension equal almost everywhere to the information dimension and given by the zero of a superadditive pressure functional.

研究动机与目标

• 在一般设定下确定自仿射和几乎自仿射测度的局部维数。
• 建立这些测度是精确维数的，即局部维数几乎处处为常数。
• 将局部维数识别为超可加压强泛函的零点，并将其与信息维数等同。
• 将结果推广至符号空间上的吉布斯测度，并分析其在自仿射集上的投影测度。
• 通过 $ L^q $-维数和积分估计提供局部维数的确定性上下界。

提出的方法

• 使用超可加压强泛函 $ P(s,q) $ 定义临界指数 $ d_q $，其中 $ d_1 $ 为局部维数。
• 通过 $ L^q $-维数在 $ q \nearrow 1 $ 时的极限应用局部维数的上界估计，利用 $ P(s,q) $ 在 $ q=1 $ 处的下极限连续性。
• 通过积分估计（定理 5.3）建立局部维数的几乎必然下界。
• 通过利用柱集测度的次乘性和超乘性以及亚加性遍历定理，将结果推广至吉布斯测度。
• 应用变分原理和霍尔德连续性以确保压强函数的存在性与正则性。
• 通过 $ x^\omega(\mathbf{i}) $ 将符号空间 $ I_\infty $ 上的测度投影到自仿射集上，以定义 $ \mu^\omega $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，自仿射测度 $ \mu^\omega $ 的局部维数几乎处处为常数？
• RQ2 对于一般自仿射测度，其局部维数的精确值是什么？它与信息维数有何关系？
• RQ3 能否将局部维数表征为超可加压强泛函的零点？
• RQ4 结果如何推广至符号空间上的吉布斯测度及其在自仿射集上的投影？
• RQ5 在何种条件下，局部维数几乎必然等于 $ \min\{d_1, N\} $？

主要发现

• 对于 $ {\mathcal L}^{mN} $-几乎所有的 $ \omega $，自仿射测度 $ \mu^\omega $ 是精确维数的，其局部维数等于超可加压强泛函 $ P(s,1) $ 的零点 $ d_1 $。
• 对于一般 $ \omega $，局部维数 $ d_1 $ 几乎必然等于信息维数 $ D^1(\mu^\omega) $。
• 局部维数的上界通过 $ L^q $-维数在 $ q \nearrow 1 $ 时的极限推导得出，利用了 $ P(s,q) $ 在 $ q=1 $ 处的下极限连续性。
• 下界通过积分估计（定理 5.3）建立，表明几乎必然有 $ \liminf_{r\to 0} \frac{\log \mu^\omega(B(x,r))}{\log r} \geq d_1 $。
• 对于吉布斯测度，局部维数满足几乎必然有 $ \min\{d_1, N\} \leq \lim_{r\to 0} \frac{\log \mu^\omega(B(x,r))}{\log r} \leq \min\{\lim_{q\nearrow 1} d_q, N\} $。
• 结果可推广至几乎自仿射集，在此情形下局部维数几乎必然为 $ \min\{d_0, N\} $，其中 $ d_0 $ 为仿射维数。