[论文解读] Local Entropy and Generic Multiplicity One Singularities of Mean Curvature Flow of Surfaces

Ao Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文证明了在 R³ 中闭嵌入曲面的平均曲率流中，一般的奇点始终是重数为一的奇点，具体而言即为标准球面。通过构造流的小扰动，使局部熵低于更高重数自缩小时空的熵，作者表明此类奇点可被避免，从而确认唯一的闭合一般奇点为重数为一的球面——解决了伊尔曼嫩关于重数一猜想的通用版本。

ABSTRACT

In this paper we prove that the generic singularities of mean curvature flow of closed embedded surfaces in $\mathbb R^3$ modeled by closed self-shrinkers with multiplicity has multiplicity one. Together with the previous result by Colding-Minicozzi in [CM12], we conclude that the only generic singularity of mean curvature flow of closed embedded surfaces in $\mathbb R^3$ modeled by closed self-shrinkers is a multiplicity one sphere. We also construct particular perturbations of the flow to avoid those singularities with multiplicity higher than one. Our result partially addresses the well-known multiplicity one conjecture by Ilmanen.

研究动机与目标

• 解决平均曲率流中闭嵌入曲面在 R³ 中的伊尔曼嫩重数一猜想的通用版本。
• 表明可通过扰动避免由重数大于一的闭合自缩小时空所描述的奇点。
• 确立在所有可能的奇点中，仅重数为一的球面为一般奇点。
• 证明高重数自缩小时空为熵不稳定，因此非一般奇点。
• 构造流的显式扰动，以防止出现高重数的切触流。

提出的方法

• 使用局部熵作为变分工具，比较不同重数自缩小时空的稳定性。
• 在较晚时间片对流进行扰动构造，保持同伦性并控制豪斯多夫距离。
• 应用抛物型最大值原理，排除当固定球体保留在内部时奇点形成于单点的可能性。
• 利用缩放与爆破分析，将扰动流的行为与极限自缩小时空的熵联系起来。
• 利用 Colding-Minicozzi 关于球面和广义圆柱体熵稳定性的结果，识别一般奇点。
• 通过反证法证明：若高重数自缩小时空为一般奇点，则其熵应为最小，但已被证明其不稳定。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过平均曲率流的扰动避免由重数大于一的闭合自缩小时空所描述的奇点？
• RQ2 在 R³ 中闭嵌入曲面的平均曲率流中，重数为一的球面是否为唯一的闭合一般奇点？
• RQ3 重数 m > 1 的自缩小时空是否为熵稳定？这对其一般性有何含义？
• RQ4 能否构造一种流的扰动，使得扰动后曲面的熵严格低于给定的 mΣ 自缩小时空的熵？
• RQ5 若扰动后不再出现高重数的切触流，是否意味着仅球面为一般奇点？

主要发现

• 在 R³ 中闭嵌入曲面的平均曲率流中，唯一的闭合一般奇点为重数为一的球面。
• 重数 m > 1 的自缩小时空为熵不稳定，意味着其不能为一般奇点。
• 对于任意初始流，若其切触流重数为 m > 1，则存在一种扰动可避免 mΣ 作为切触流。
• 该扰动在较晚时间片构造，豪斯多夫距离小于 ε₀√(T−t₀)，并保持同伦性。
• 若固定球体始终保留在内部，则扰动流无法在有限时间内收敛至单点，从而防止闭合奇点的形成。
• 通过将局部熵降低至低于 mΣ 的水平，扰动流不可能以 mΣ 作为首次爆破极限。