[论文解读] Local Entropy Theory of a Random Dynamical System

A. H. Dooley, Guohua Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 4

一句话总结

该论文将局部熵理论扩展至无限可数离散阿贝尔群上连续束随机动力系统，引入了局部纤维拓扑压强，并建立了其与度量熵之间的变分原理。主要贡献在于为随机动力系统中的熵元组与变分原理建立了严格的框架，推广并拓展了来自拓扑动力系统与全局熵理论的结果。

ABSTRACT

In this paper we extend the notion of a continuous bundle random dynamical system to the setting where the action of $\R$ or $\N$ is replaced by the action of an infinite countable discrete amenable group. Given such a system, and a monotone sub-additive invariant family of random continuous functions, we introduce the concept of local fiber topological pressure and establish an associated variational principle, relating it to measure-theoretic entropy. We also discuss some variants of this variational principle. We introduce both topological and measure-theoretic entropy tuples for continuous bundle random dynamical systems, and apply our variational principles to obtain a relationship between these of entropy tuples. Finally, we give applications of these results to general topological dynamical systems, recovering and extending many recent results in local entropy theory.

研究动机与目标

• 为无限可数离散阿贝尔群上的连续束随机动力系统发展局部熵理论。
• 将拓扑压强的概念推广至随机动力系统中的纤维化设定。
• 建立连接局部纤维拓扑压强与度量熵的变分原理。
• 在随机动力系统的语境下定义并分析熵元组，并将其与拓扑与度量不变量相关联。
• 通过所提出的框架恢复并拓展近期在拓扑动力系统局部熵理论中的结果。

提出的方法

• 在连续束随机动力系统的基空间上引入一个单调次可加的随机连续函数族。
• 利用随机开覆盖以及适配于阿贝尔群作用的因子优良/好覆盖来定义局部纤维拓扑压强。
• 通过平铺Følner序列为阿贝尔群建立变分原理，将度量熵的上确界与局部拓扑压强联系起来。
• 利用斜积变换与纤维化动力学的框架，将随机动力系统与拓扑动力系统相关联。
• 应用该理论，通过不变测度的支撑与纤维积结构来定义并分析连续束随机动力系统的熵元组。
• 利用拓扑动力系统与特定连续束随机动力系统之间的等价性，实现结果的转移。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阿贝尔群上的随机动力系统设定下，如何定义并表征局部纤维拓扑压强？
• RQ2 在此随机设定中，局部纤维拓扑压强与度量熵之间存在何种关系？
• RQ3 随机动力系统中的熵元组如何与拓扑与度量不变量相关联？
• RQ4 局部压强的变分原理能否推广至具有平铺Følner序列的系统？
• RQ5 通过所提出的随机动力系统框架，拓扑动力系统中的结果能在多大程度上被恢复并推广？

主要发现

• 建立了局部纤维拓扑压强的变分原理：拓扑压强等于所有不变测度上度量熵的上确界。
• 定义了连续束随机动力系统的熵元组，并证明其非空当且仅当相应的条件熵为正。
• 熵元组集合包含于不变测度支撑的乘积中，在特定条件下取等。
• 对于拓扑动力系统之间的因子映射，系统的熵元组与纤维化熵元组通过测度的推出相关联。
• 该框架恢复并拓展了[51]与[38]中的关键结果，包括拓扑动力系统中局部变分原理。
• 熵元组的实现是保证的：存在 μ ∈ ℙ(Y₁,G)，使得 Eₙ(Y₁,G|π) = Eₙ^(μ)(Y₁,G|π) = _{πμ}Eₙ^(r)(ℰ_π,G)。