[论文解读] Local Equivalence and Intrinsic Metrics between Reeb Graphs

Mathieu Carrière, Steve Oudot|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Topological and Geometric Data Analysis被引用 16

一句话总结

该论文证明，尽管瓶颈距离（dB）仅为伪度量，但在Reeb图上其与更具区分力的度量（如函数畸变距离dFD和交错距离dI）在局部上等价。论文证明dB可与dFD一样有效地区分任意Reeb图与其邻近图，并引入内在度量 ˆdB、ˆdFD 和 ˆdI，证明它们在全局上等价。这支持了在插值任务中使用dB，并揭示了Reeb图空间中更深层的几何结构。

ABSTRACT

As graphical summaries for topological spaces and maps, Reeb graphs are common objects in the computer graphics or topological data analysis literature. Defining good metrics between these objects has become an important question for applications, where it matters to quantify the extent by which two given Reeb graphs differ. Recent contributions emphasize this aspect, proposing novel distances such as {\em functional distortion} or {\em interleaving} that are provably more discriminative than the so-called {\em bottleneck distance}, being true metrics whereas the latter is only a pseudo-metric. Their main drawback compared to the bottleneck distance is to be comparatively hard (if at all possible) to evaluate. Here we take the opposite view on the problem and show that the bottleneck distance is in fact good enough {\em locally}, in the sense that it is able to discriminate a Reeb graph from any other Reeb graph in a small enough neighborhood, as efficiently as the other metrics do. This suggests considering the {\em intrinsic metrics} induced by these distances, which turn out to be all {\em globally} equivalent. This novel viewpoint on the study of Reeb graphs has a potential impact on applications, where one may not only be interested in discriminating between data but also in interpolating between them.

研究动机与目标

• 通过分析瓶颈距离的局部行为，解决Reeb图比较中计算效率与区分能力之间的矛盾。
• 证明尽管瓶颈距离在整体上仅为伪度量，其在局部具有区分能力，且与更强的度量（如dFD和dI）等价。
• 倡导研究Reeb图空间上的内在度量，以支持插值和更深入的几何理解。
• 证明由dGH、dFD、dI和dB诱导的内在度量在全局上等价，表明ˆdB为真度量。
• 为需要路径插值的应用（如形态变换和形状匹配）使用Reeb图奠定基础。

提出的方法

• 证明局部等价性：对任意Reeb图Rf及足够小的dFD邻域内任意Rg，有K·dFD(Rf,Rg) ≤ dB(Rf,Rg) ≤ 2·dFD(Rf,Rg)，其中K=1/22。
• 将内在度量ˆd定义为在函数畸变拓扑下连续路径长度的下确界。
• 利用dFD中路径的紧致性与连续性，细化划分，控制局部dFD步长相对于临界值间距的关系。
• 借助局部等价性，将任意路径在dFD中的长度有界于其在dB中长度的常数倍，反之亦然。
• 应用三角不等式与路径细化，证明ˆdFD(Rf,Rg)/22 ≤ ˆdB(Rf,Rg) ≤ 2·ˆdFD(Rf,Rg)。
• 利用简化算子证明Reeb图是路径连通的，且ˆdFD与ˆdB为有限值，支持其作为真度量的使用。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管瓶颈距离仅为伪度量，它是否能在局部以与更强度量（如dFD）相同效率的方式区分Reeb图？
• RQ2 由dGH、dFD、dI和dB诱导的内在度量在Reeb图空间上是否全局等价？
• RQ3 内在度量ˆdB是否在Reeb图上提供真度量结构，从而支持插值与曲率分析？
• RQ4 dB与dFD之间的局部等价性是否可推广至一般度量空间，特别是在持久性理论的反问题中？
• RQ5 Reeb图空间中是否存在最短路径？在适当约束下，该空间是否完备且局部紧致？

主要发现

• 瓶颈距离dB与dFD在局部等价：对任意Reeb图Rf及足够小的dFD邻域内任意Rg，有K·dFD(Rf,Rg) ≤ dB(Rf,Rg) ≤ 2·dFD(Rf,Rg)，其中K=1/22。
• 内在度量ˆdB为真度量，因其与ˆdFD全局等价，故可区分不同的Reeb图。
• 内在度量ˆdFD、ˆdI、ˆdGH与ˆdB在全局上等价，意味着它们在Reeb图上诱导相同的拓扑结构。
• 通过路径长度比较，建立了ˆdB与ˆdFD的全局等价性：ˆdFD(Rf,Rg)/22 ≤ ˆdB(Rf,Rg) ≤ 2·ˆdFD(Rf,Rg)。
• 在dFD下，Reeb图空间是路径连通的，且由于Reeb图的复杂度有限，内在度量为有限值。
• 简化算子允许连续形变为平凡图，支持了内在度量的有限性与路径连通性。