[论文解读] Local Euler-Maclaurin formula for polytopes

Nicole Berline, Michèle Vergne|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2005

Pharmacological Effects of Medicinal Plants参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文提出了一种针对有理凸多面体的局部且可计算的欧拉-麦克劳林公式，将整数点上的离散和表示为作用于各面上多项式函数的微分算子之和。关键贡献在于构造了仅依赖于每个面处横截锥的有理系数微分算子 $ D(\frak{p}, \frak{f}) $，从而实现了在固定维数下，通过多项式时间算法高效计算Ehrhart拟多项式和离散和。

ABSTRACT

We give a local Euler-Maclaurin formula for rational convex polytopes in a rational euclidean space . For every affine rational polyhedral cone C in a rational euclidean space W, we construct a differential operator of infinite order D(C) on W with constant rational coefficients, which is unchanged when C is translated by an integral vector. Then for every convex rational polytope P in a rational euclidean space V and every polynomial function f (x) on V, the sum of the values of f(x) at the integral points of P is equal to the sum, for all faces F of P, of the integral over F of the function D(N(F)).f, where we denote by N(F) the normal cone to P along F.

研究动机与目标

• 构建有理凸多面体的局部且可计算的欧拉-麦克劳林公式，解决关于此类算子存在的长期猜想。
• 提供一种方法，用于计算 $ \text{Card}(\frak{p} \bigcap \bbZ^d) $ 和 $ \text{sum}_{x \bigcap \frak{p} \bigcap \bbZ^d} h(x) $，其中 $ h $ 为多项式函数，当维数和阶数固定时，运行时间在输入规模上为多项式时间。
• 将巴尔文诺克（Barvinok）关于多面体中整数点计数的多项式时间算法扩展至使用局部有理微分算子计算格点上的加权和。
• 通过等变Riemann-Roch定理，基于局部欧拉-麦克劳林框架，建立对 toric 代数簇 Todd 类的典范局部公式。
• 提供局部公式的构造性、算法化实现，使Ehrhart拟多项式和离散和在小维数下可实际计算。

提出的方法

• 为每个有理仿射锥 $ \frak{a} $ 定义一个生成函数 $ \nu(\frak{a})(\theta) $，基于 $ \frak{a} $ 中格点的指数和，并通过格点平移进行归一化。
• 通过函数 $ \nu(\frak{t}(\frak{p}, \frak{f})) $ 构造微分算子 $ D(\frak{p}, \frak{f}) $ 的符号，其中 $ \frak{t}(\frak{p}, \frak{f}) $ 是 $ \frak{p} $ 沿面 $ \frak{f} $ 的横截锥，使用 $ \bbR^d $ 上的内积。
• 利用 $ \nu(\frak{a}) $ 的赋值性质，满足 $ \nu(\frak{a}_1 \bigcup \frak{a}_2) = \nu(\frak{a}_1) + \nu(\frak{a}_2) - \nu(\frak{a}_1 \bigcap \frak{a}_2) $，确保在锥分解下的一致性。
• 通过涉及指数生成函数和对低维面的积分的公式，递归定义 $ D(\frak{p}, \frak{f}) $，以保证局部性和有理系数。
• 使用巴尔文诺克的锥的符号分解为单模锥的方法实现算法，使得当维数和次数固定时，可实现 $ \text{sum}_{x \bigcap \frak{p} \bigcap \bbZ^d} h(x) $ 的多项式时间计算。
• 将该方法应用于计算Ehrhart拟多项式，通过累加每个面的贡献，周期性系数以模函数 $ \text{mod}(at, m) $ 表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为有理多面体构造一个局部且可计算的欧拉-麦克劳林公式，使得微分算子仅依赖于每个面处的横截锥？
• RQ2 是否存在一个典范的、具有有理系数的微分算子 $ D(\frak{p}, \frak{f}) $，使得 $ \text{sum}_{x \bigcap \frak{p} \bigcap \bbZ^d} h(x) = \text{sum}_{\frak{f} \bigcap \frak{F}(\frak{p})} \text{int}_{\frak{f}} D(\frak{p}, \frak{f}) \bullet h $，并满足局部性和可计算性？
• RQ3 能否基于局部微分算子的面对分解，高效计算有理多面体的Ehrhart拟多项式？
• RQ4 是否可以通过这些算子的局部算法构造，实现对 toric 代数簇的等变Riemann-Roch定理的实现？
• RQ5 计算 $ \text{sum}_{x \bigcap \frak{p} \bigcap \bbZ^d} h(x) $ 的计算复杂度是多少，当维数和次数固定时，是否可实现为多项式时间？

主要发现

• 本文构造了具有有理系数的微分算子 $ D(\frak{p}, \frak{f}) $，满足欧拉-麦克劳林公式 (1)，且具有局部性和可计算性，解决了文献 [3] 中的猜想。
• 算子 $ D(\frak{p}, \frak{f}) $ 仅依赖于横截锥 $ \frak{t}(\frak{p}, \frak{f}) $，模格点平移，确保了局部性及在保持格点的等距变换下的不变性。
• 对于常数函数 $ h(x) = 1 $，公式退化为 $ \text{Card}(\frak{p} \bigcap \bbZ^d) = \text{sum}_{\frak{f}} \nu_0(\frak{p}, \frak{f}) \text{vol}(\frak{f}) $，其中 $ \nu_0(\frak{p}, \frak{f}) $ 为有理系数，证实了 Danilov、Morelli 和 McMullen 的结果。
• 该方法可将有理多面体的Ehrhart拟多项式表示为各面贡献之和，系数以模函数 $ \text{mod}(at, m) $ 表示，如例36所示。
• 当维数 $ d $ 和 $ h $ 的次数固定时，该算法可在多项式时间内计算 $ \text{sum}_{x \bigcap \frak{p} \bigcap \bbZ^d} h(x) $，扩展了巴尔文诺克的结果。
• 该方法成功应用于计算在缩放三角形 $ N=11^5 $ 上 $ x_1^{48}x_2^{48} $ 的和，约一小时内得到一个300位的数字，优于小维数下的现有软件。