[论文解读] Local exact controllability for the 2 and 3-d compressible Navier-Stokes equations

Sylvain Ervedoza, Olivier Glass+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 11

一句话总结

该论文通过边界控制建立了二维和三维可压缩N-S方程到恒定密度-速度状态的局部精确可控性。通过在负Sobolev空间中利用Carleman估计分析线性化伴随系统的可观测性，并构造光滑轨迹，作者证明了当时间跨度超过沿平均速度方向域内信息传播的特征传播时间时，小的初始扰动可在有限时间内被驱动回目标状态。

ABSTRACT

The goal of this article is to present a local exact controllability result for the 2 and 3-dimensional compressible Navier-Stokes equations on a constant target trajectory when the controls act on the whole boundary. Our study is then based on the observability of the adjoint system of some linearized version of the system, which is analyzed thanks to a subsystem for which the coupling terms are somewhat weaker. In this step, we strongly use Carleman estimates in negative Sobolev spaces.

研究动机与目标

• 建立二维和三维可压缩N-S方程到恒定目标轨迹的局部精确可控性。
• 解决当目标状态具有非零速度时引入的输运效应所导致的时间跨度限制问题。
• 基于线性化方程伴随系统的可观测性，发展一个利用负Sobolev空间中Carleman估计的框架。
• 确保受控轨迹属于 $L^2(0,T;H^3(Ω)) \cap C^0([0,T];H^2(Ω))$，以保证流场的正则性和存在性。
• 将先前的一维结果推广到具有非零平均速度的多维情形。

提出的方法

• 作者将可压缩N-S系统在常数状态 $(\overline{\rho}, \overline{u})$（其中 $\overline{u} \neq 0$）附近进行线性化。
• 通过在负Sobolev空间中应用Carleman估计，分析线性化方程伴随系统的可观测性，以推导可观测性不等式。
• 该方法涉及构造随速度 $\overline{u}$ 运动的Carleman估计中的权函数，借鉴了先前关于耦合抛物-双曲系统的研究技术。
• 关键步骤是通过流映射 $Z_{\check{u}}(t,x)$ 进行变量变换，将方程转化为在分析中可分离输运与扩散效应的形式。
• 作者定义了非线性修正项 $f_{\rho}(\rho,u)$ 和 $f_u(\rho,u)$，以处理变换后系统中的非线性，从而在控制框架中应用不动点方法。
• 通过使用对偶性和负Sobolev空间中的可观测性估计，确保速度场属于 $L^2(0,T;H^3(\Omega))$，从而保证流场正确定义且连续所需的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过边界控制实现二维和三维可压缩N-S方程到具有非零速度的恒定状态的局部精确可控性？
• RQ2 此类可控性的最小时间是多少？它与背景流场中输运速度有何关系？
• RQ3 如何利用负Sobolev空间中的可观测性估计来控制具有耦合抛物与双曲动力的系统？
• RQ4 域的几何形状以及平均速度方向在可控性时间条件中起什么作用？
• RQ5 如何在 $L^2(0,T;H^3(\Omega))$ 中构造光滑轨迹，以确保流映射的存在性与正则性？

主要发现

• 当时间跨度 $T$ 超过 $L_0 / |\overline{u}|$ 时，二维和三维可压缩N-S方程对常数状态 $(\overline{\rho}, \overline{u})$（其中 $\overline{u} \neq 0$）具有局部精确可控性，其中 $L_0$ 是域在 $\overline{u}$ 方向上的厚度。
• 该结果适用于初始数据 $(\rho_0, u_0)$ 属于 $H^2(\Omega) \times H^2(\Omega)$ 且范数 $\delta > 0$ 足够小的情形，确保了局部可控性。
• 受控解 $(\rho_{\mathcal{S}}, u_{\mathcal{S}})$ 属于 $C([0,T];H^2(\Omega)) \times (L^2(0,T;H^3(\Omega)) \cap C^0([0,T];H^2(\Omega)))$，保证了流场正确定义所需的充分正则性。
• 证明依赖于随速度 $\overline{u}$ 移动的权函数的Carleman估计，该估计应用于线性化方程的伴随系统，以推导可观测性不等式。
• 非线性项 $f_{\rho}$ 和 $f_u$ 显式构造，以反映通过流映射进行变量变换的影响，从而在控制框架中可应用不动点方法。
• 该方法将先前的一维结果推广至高维情形，并通过确保时间跨度考虑了密度方程中信息传播的有限速度，从而克服了输运限制。