[论文解读] Local Exact Controllability of a Parabolic System of Chemotaxis

Bao‐Zhu Guo, Liang Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2013

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文通过在子区域施加单个控制力，建立了抛物型趋化系统到轨迹的局部精确可控性。通过结合Kakutani不动点定理与线性化系统的零可控性，并运用最大正则性及$L^p$-$L^q$估计，作者证明了在初始数据较小时，存在一个属于$L^∞(Q)$的控制，使得解在终端时刻趋于零。

ABSTRACT

This paper studies the controllability problem of a parabolic system of chemotaxis. The local exact controllability to trajectories of the system imposed one control force only is obtained by applying Kakutani's fixed point theorem combined with the null controllability of the associated linearized parabolic system. The control function is shown to be in $L^\infty(Q)$, which is estimated by using the methods of maximal regularity and $L^p$-$L^q$ estimates of parabolic equations.

研究动机与目标

• 建立作用于子区域的单个控制力下抛物型趋化系统的局部精确可控性。
• 解决通过趋化作用建模细胞聚集的非线性、耦合抛物型PDE系统控制的挑战。
• 证明在初始数据较小时，存在属于$L^∞(Q)$的控制，使系统在最终时刻趋于零。
• 将可控性结果推广至具有非线性、非局部耦合及Neumann边界条件的趋化模型。

提出的方法

• 将Kakutani不动点定理应用于由线性化系统解映射构造的非线性算子。
• 利用Carleman不等式与最大正则性估计，建立线性化系统的零可控性。
• 利用抛物方程的$L^p$-$L^q$估计，对$L^∞(Q)$中的控制函数进行有界性估计。
• 运用Sobolev嵌入与正则性理论，确保解及其梯度有界。
• 在$L^∞(Q)$中构造一个闭、凸且紧致的集合$K$，以满足Kakutani定理的条件。
• 证明解算子在$K$上具有上半连续性与不变性，从而保证不动点的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在子区域施加单个控制力是否可实现抛物型趋化系统的局部精确可控性？
• RQ2 初始数据满足何种条件可确保存在属于$L^∞(Q)$的控制，使系统在终端时刻趋于零？
• RQ3 在可控性框架下，如何处理细胞密度与化学浓度之间的非线性耦合？
• RQ4 $L^p$-$L^q$估计与最大正则性在控制函数有界性估计中起什么作用？
• RQ5 受控趋化系统解算子在适当集合上是否具有上半连续性与不变性？

主要发现

• 当初始数据满足$\|u_0\|_{\infty} + \|v_0\|_{W^{2(1-1/p),p}(\Omega)} \leq \delta$（其中$\delta > 0$为某小常数）时，趋化系统实现了到轨迹的局部精确可控性。
• 控制函数$f$属于$L^\infty(Q)$，其范数通过$L^p$-$L^q$估计与最大正则性技术进行估计。
• 线性化系统解$y$满足$\|y\|_{\infty} \leq e^{c_1 \kappa_0}(\|y_0\|_{\infty} + \|z_0\|_{W^{2(1-1/p),p}(\Omega)})$，在小数据条件下保证了解的有界性。
• 解算子具有上半连续性，且将凸紧集$K$映射到其自身，满足Kakutani不动点定理的条件。
• 不动点的存在性意味着存在控制$f$，使得状态$(u,v)$在时间$T$几乎处处于$\Omega$中趋于零。
• 证明依赖于$V^1(Q)$与$V^2(Q)$中逼近序列的收敛性，其中在$L^2(Q)$中强收敛，在更高阶空间中弱收敛。