[论文解读] Local existence and uniqueness of strong solutions to the Navier-Stokes equations with nonnegative density

Jinkai Li|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文在弱于以往研究的正则性假设下，建立了三维不可压缩非齐次纳维-斯托克斯方程在初始密度非负（包括真空）情形下的强解的局部存在性与唯一性。该研究消除了对相容性条件的需求，并降低了对初始速度正则性的要求，转而依赖于初始时刻动量的连续性。

ABSTRACT

In this paper, we consider the initial-boundary value problem to the nonhomogeneous incompressible Navier-Stokes equations. Local strong solutions are established, for any initial data $(ρ_0, u_0)\in (W^{1,γ} \cap L^\infty) imes H_{0,σ}^1$, with $γ>1$, and if $γ\geq2$, then the strong solution is unique. The initial density is allowed to be nonnegative, and in particular, the initial vacuum is allowed. The assumption on the initial data is weaker than the previous widely used one that $(ρ_0, u_0)\in (H^1 \cap L^\infty ) imes(H_{0,σ}^1 \cap H^2)$, and no compatibility condition is required.

研究动机与目标

• 建立初始密度可为零（即真空）的非齐次不可压缩纳维-斯托克斯方程的局部强解。
• 弱化对初始数据的标准假设，特别是消除对相容性条件的需求。
• 将初始速度所需正则性从 $H^2$ 降低至 $H^1$，同时保持唯一性。
• 表明在 $t=0$ 时刻动量 $\rho u$ 的连续性已足够，而非速度 $u$ 本身的连续性。

提出的方法

• 采用带有正则化初始数据的伽辽金逼近方法构造近似解 $ (\rho_n, u_n) $。
• 运用能量估计和 $ L^p $ 型不等式控制 $ \rho u $、$ \nabla u $ 和 $ \rho $ 的演化。
• 应用格朗沃尔型不等式控制两个解之间的差异，从而证明唯一性。
• 由于在真空处速度可能不连续，故将 $ \rho u $ 在 $ t=0 $ 的连续性作为初始条件，而非 $ u $ 本身。
• 借助索伯列夫、庞加莱和霍尔德不等式控制动量方程与密度方程中的非线性项。
• 通过逼近序列的极限论证，建立 $ \rho u $ 在 $ t=0 $ 的 $ L^2 $ 连续性，证明该初始条件在动量意义下成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在较弱的正则性假设下，非齐次纳维-斯托克斯方程在初始真空情形下是否仍存在强解？
• RQ2 在保持唯一性的前提下，是否可完全去除以往研究中所需的相容性条件 $ \Delta u_0 - \nabla p_0 = \sqrt{\rho_0} g $？
• RQ3 是否可将初始速度的正则性要求从 $ H^2 \cap H^1_0 $ 降低至 $ H^1_0 $，同时保持唯一性？
• RQ4 当 $ u $ 在真空处可能不连续时，$ \rho u $ 在 $ t=0 $ 的连续性是否足以作为初始条件？
• RQ5 在仅满足 $ (\rho_0, u_0) \in (W^{1,\gamma} \cap L^\infty) \times H^1_{0,\sigma} $ 且无相容性条件时，是否可在 $ \gamma \geq 2 $ 下证明唯一性？

主要发现

• 对于初始数据 $ (\rho_0, u_0) \in (W^{1,\gamma} \cap L^\infty) \times H^1_{0,\sigma} $ 且 $ \gamma > 1 $ 的情形，存在局部强解，允许初始真空。
• 当 $ \gamma \geq 2 $ 时，在相同初始数据正则性下，唯一性得以建立。
• 先前研究中所需的相容性条件被完全消除。
• 初始条件施加于动量 $ \rho u $，而非 $ u $ 本身，且通过逼近方法证明了 $ \rho u $ 在 $ t=0 $ 的连续性。
• 初始速度的正则性从 $ H^2 \cap H^1_0 $ 降低至 $ H^1_0 $，同时保持唯一性。
• 解满足 $ \rho u \in C([0,T]; L^2) $，且 $ \sqrt{t} u, \sqrt{t} \partial_t u \in L^\infty(0,T; H^2) \cap L^2(0,T; H^1) $，表明在 $ t=0 $ 附近具有改进的时间正则性。